O que diz o Teorema de Pitágoras?

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: $a^2 = b^2 + c^2$.

Como se calcula a área de um círculo a partir do diâmetro?

A área é $A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$, onde d é o diâmetro.

Quando a soma das áreas de dois círculos é igual à área de um terceiro círculo?

Quando os diâmetros dos círculos formam um triângulo retângulo, ou seja, $a^2 = b^2 + c^2$.

O que acontece com $a^2$ em triângulos acutângulos?

Em triângulos acutângulos, $a^2 < b^2 + c^2$.

E em triângulos obtusângulos, qual a relação entre $a^2$, $b^2$ e $c^2$?

Em triângulos obtusângulos, $a^2 > b^2 + c^2$.

Qual é a interpretação geométrica de um triângulo com ângulo de 180°?

Não existe triângulo com ângulo interno de 180°, pois isso implica pontos colineares.

Por que a área de um círculo cresce com o quadrado do diâmetro?

Porque a área depende do raio ao quadrado, e o raio é metade do diâmetro, então $A \propto d^2$.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 172

Q: E em triângulos obtusângulos, qual a relação entre $a^2$, $b^2$ e $c^2$?

Em triângulos obtusângulos, $a^2 > b^2 + c^2$.

ENEM 2023 Questão 172

Sejam $a$, $b$ e $c$ as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores $a$, $b$ e $c$ são, respectivamente, os diâmetros dos círculos $C_1$ , $C_2$ e $C_3$, como apresentados na figura.

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Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C1) = área (C2) + área (C3). Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.

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A partir da medida do ângulo a, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.

A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois

Resolução

A questão explora a relação entre áreas de círculos cujos diâmetros correspondem aos lados de um triângulo, conectando o problema ao Teorema de Pitágoras. Inicialmente, quando o triângulo é retângulo, a soma das áreas dos círculos menores (com diâmetros b e c) é igual à área do círculo maior (com diâmetro a, a hipotenusa). A área de um círculo é dada por $A = \pi r^2$, e como o raio é metade do diâmetro, temos $A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$. Assim, a relação entre as áreas depende da relação entre os quadrados dos diâmetros. Se o triângulo não é retângulo, o Teorema de Pitágoras não se aplica exatamente: para ângulos agudos ($0^\circ < a < 90^\circ$), $a^2 < b^2 + c^2$; para ângulo reto ($a = 90^\circ$), $a^2 = b^2 + c^2$; para ângulos obtusos ($90^\circ < a < 180^\circ$), $a^2 > b^2 + c^2$. Como a área do círculo depende do quadrado do diâmetro, se $a^2 > b^2 + c^2$, a área da pizza do professor (diâmetro a) será maior que a soma das áreas das pizzas dos amigos (diâmetros b e c). Portanto, a resposta correta é a alternativa C.

Comentários por alternativa

A 0° < a < 90°

Errada. Para $0^\circ < a < 90^\circ$, o triângulo é acutângulo e $a^2 < b^2 + c^2$, então a área da pizza do professor seria menor que a soma das outras duas.
B A = 90°

Errada. Para $a = 90^\circ$, o triângulo é retângulo e $a^2 = b^2 + c^2$, então as áreas seriam exatamente iguais.
C 90° < a < 180°

Correta. Para $90^\circ < a < 180^\circ$, o triângulo é obtusângulo e $a^2 > b^2 + c^2$, logo a área da pizza do professor é maior que a soma das áreas das outras duas.
D A = 180°

Errada. Não existe triângulo com ângulo interno de $180^\circ$; isso corresponderia a três pontos colineares, não formando um triângulo.
E 180° < a < 360°

Errada. Não há triângulo com ângulo interno maior que $180^\circ$; isso é impossível na geometria euclidiana.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que diz o Teorema de Pitágoras?: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: $a^2 = b^2 + c^2$.
2. Como se calcula a área de um círculo a partir do diâmetro?: A área é $A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$, onde d é o diâmetro.
3. Quando a soma das áreas de dois círculos é igual à área de um terceiro círculo?: Quando os diâmetros dos círculos formam um triângulo retângulo, ou seja, $a^2 = b^2 + c^2$.
4. O que acontece com $a^2$ em triângulos acutângulos?: Em triângulos acutângulos, $a^2 < b^2 + c^2$.
5. E em triângulos obtusângulos, qual a relação entre $a^2$, $b^2$ e $c^2$?: Em triângulos obtusângulos, $a^2 > b^2 + c^2$.
6. Qual é a interpretação geométrica de um triângulo com ângulo de 180°?: Não existe triângulo com ângulo interno de 180°, pois isso implica pontos colineares.
7. Por que a área de um círculo cresce com o quadrado do diâmetro?: Porque a área depende do raio ao quadrado, e o raio é metade do diâmetro, então $A \propto d^2$.