Qual é o período da função tangente $\tan(x)$?

O período da função tangente é $\pi$, ou seja, ela se repete a cada $\pi$ unidades no eixo x.

O que são assíntotas verticais em funções trigonométricas?

Assíntotas verticais são linhas onde a função não está definida, como em $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ para a tangente.

Como o parâmetro $p$ em $\tan[p(T + m)]$ afeta o gráfico?

O parâmetro $p$ controla o período da função; quanto maior $p$, menor o período.

Para que serve o parâmetro $k$ em $D = k + \tan[p(T + m)]$?

O parâmetro $k$ desloca o gráfico verticalmente, ajustando o valor inicial ou médio da função.

Como determinar o deslocamento horizontal $m$ em funções trigonométricas?

O deslocamento $m$ ajusta onde o ciclo da função começa, centralizando o intervalo de interesse entre as assíntotas.

Por que a função tangente é adequada para modelar certos recipientes?

Porque sua variação rápida e assíntotas podem representar mudanças bruscas de altura em recipientes de formato especial.

Como encontrar o valor de $p$ para que a tangente cubra um intervalo específico de tempo?

Iguale $p \cdot (T_{final} - T_{inicial})$ ao período desejado da tangente, normalmente $\pi$.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 160 — Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância $D$ da lâmina de água ao tampo da mesa, em…

ENEM 2025 Questão 160

Média

Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância $D$ da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo $T$, em minuto, de acordo com uma função do tipo $$D = k + \text{tg}[p(T + m)],$$ sendo os parâmetros $k$, $p$ e $m$ números reais, para $T$ variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de $D$.

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A expressão algébrica que representa a relação entre $D$ e $T$ é

Resolução

Resposta correta: Letra E — $D = 30 + \text{tg}\left[\frac{1}{2}\left(T - \frac{5}{2}\right)\right]$

A questão trata de funções trigonométricas, especificamente da função tangente, aplicada ao contexto físico de enchimento de um recipiente com formato especial. O aluno deve reconhecer como a função tangente, com seus parâmetros de deslocamento, escala e translação, modela o crescimento da altura da água em função do tempo, considerando as assíntotas verticais (onde a tangente não está definida). O raciocínio envolve identificar a forma geral da função $D = k + \text{tg}[p(T + m)]$, relacionar os parâmetros $k$, $p$ e $m$ às características do gráfico (como posição das assíntotas e valor inicial), e comparar com as alternativas. A alternativa correta é aquela que apresenta o termo $\frac{1}{2}(T - \frac{5}{2})$ dentro da tangente, o que indica que o período da função foi ajustado para abranger o intervalo de tempo dado (0 a 4 minutos) entre duas assíntotas, e o termo $30$ representa o valor de $k$, deslocando verticalmente a função. O aluno deve saber que a tangente tem período $\pi$, então $p(T + m)$ deve variar de $-\frac{\pi}{2}$ a $+\frac{\pi}{2}$ em 4 minutos, levando à escolha de $p = \frac{1}{2}$ e $m = -\frac{5}{2}$, como na alternativa E.

Comentários por alternativa

A $D = 2,5 + \text{tg}\left[30\left(T - \frac{5 - 2\pi}{2}\right)\right]$

A alternativa A utiliza valores inadequados para os parâmetros de deslocamento e escala, resultando em um período da tangente incompatível com o intervalo de tempo dado. O termo $30$ dentro da tangente é excessivo, e o deslocamento não corresponde ao necessário para alinhar as assíntotas com o intervalo de 0 a 4 minutos.
B $D = 4 + \text{tg}\left[30\left(T + \frac{5}{2}\right)\right]$

A alternativa B traz $p = 30$, o que reduz demais o período da tangente, tornando-o incompatível com o intervalo de 4 minutos. Além disso, o deslocamento $+\frac{5}{2}$ não posiciona corretamente as assíntotas verticais.
C $D = 4 + \text{tg}\left[2,5\left(T + \frac{5 + 2\pi}{2}\right)\right]$

A alternativa C apresenta $p = 2,5$ e um deslocamento inadequado, o que faz com que o período da tangente não corresponda ao intervalo de tempo necessário. O termo $4$ como valor de $k$ também não condiz com o contexto do problema.
D $D = 30 + \text{tg}\left[\frac{1}{2}(T - 5)\right]$

A alternativa D utiliza $k = 30$, o que está correto, mas o termo $(T - 5)$ dentro da tangente desloca as assíntotas para fora do intervalo de 0 a 4 minutos, não atendendo à condição do enunciado.
E $D = 30 + \text{tg}\left[\frac{1}{2}\left(T - \frac{5}{2}\right)\right]$

A alternativa E está correta porque utiliza $k = 30$ (deslocamento vertical), $p = \frac{1}{2}$ (ajustando o período da tangente para cobrir 4 minutos entre as assíntotas) e $m = -\frac{5}{2}$ (deslocamento horizontal que centraliza o intervalo de tempo entre as assíntotas). Assim, para $T$ variando de 0 a 4, o argumento da tangente vai de $-\frac{\pi}{2}$ a $+\frac{\pi}{2}$, como exige o comportamento da função tangente no contexto do problema.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7

1. Qual é o período da função tangente $\tan(x)$?: O período da função tangente é $\pi$, ou seja, ela se repete a cada $\pi$ unidades no eixo x.
2. O que são assíntotas verticais em funções trigonométricas?: Assíntotas verticais são linhas onde a função não está definida, como em $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ para a tangente.
3. Como o parâmetro $p$ em $\tan[p(T + m)]$ afeta o gráfico?: O parâmetro $p$ controla o período da função; quanto maior $p$, menor o período.
4. Para que serve o parâmetro $k$ em $D = k + \tan[p(T + m)]$?: O parâmetro $k$ desloca o gráfico verticalmente, ajustando o valor inicial ou médio da função.
5. Como determinar o deslocamento horizontal $m$ em funções trigonométricas?: O deslocamento $m$ ajusta onde o ciclo da função começa, centralizando o intervalo de interesse entre as assíntotas.
6. Por que a função tangente é adequada para modelar certos recipientes?: Porque sua variação rápida e assíntotas podem representar mudanças bruscas de altura em recipientes de formato especial.
7. Como encontrar o valor de $p$ para que a tangente cubra um intervalo específico de tempo?: Iguale $p \cdot (T_{final} - T_{inicial})$ ao período desejado da tangente, normalmente $\pi$.

Questão 160 — Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância $D$ da lâmina de água ao tampo da mesa, em…

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