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Questão 160 — Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância $D$ da lâmina de água ao tampo da mesa, em…

ENEM 2025 Questão 160

Um recipiente tem um formato que faz com que, ao ser enchido de água com uma vazão constante, a distância $D$ da lâmina de água ao tampo da mesa, em centímetro, aumente em relação ao tempo $T$, em minuto, de acordo com uma função do tipo $$D = k + \text{tg}[p(T + m)],$$ sendo os parâmetros $k$, $p$ e $m$ números reais, para $T$ variando entre 0 e 4 minutos, conforme ilustrado na figura, na qual estão apresentadas assíntotas verticais da função tangente utilizada na definição de $D$.

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A expressão algébrica que representa a relação entre $D$ e $T$ é

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Resolução

Resposta correta: Letra E — $D = 30 + \text{tg}\left[\frac{1}{2}\left(T - \frac{5}{2}\right)\right]$

A questão trata de funções trigonométricas, especificamente da função tangente, aplicada ao contexto físico de enchimento de um recipiente com formato especial. O aluno deve reconhecer como a função tangente, com seus parâmetros de deslocamento, escala e translação, modela o crescimento da altura da água em função do tempo, considerando as assíntotas verticais (onde a tangente não está definida). O raciocínio envolve identificar a forma geral da função $D = k + \text{tg}[p(T + m)]$, relacionar os parâmetros $k$, $p$ e $m$ às características do gráfico (como posição das assíntotas e valor inicial), e comparar com as alternativas. A alternativa correta é aquela que apresenta o termo $\frac{1}{2}(T - \frac{5}{2})$ dentro da tangente, o que indica que o período da função foi ajustado para abranger o intervalo de tempo dado (0 a 4 minutos) entre duas assíntotas, e o termo $30$ representa o valor de $k$, deslocando verticalmente a função. O aluno deve saber que a tangente tem período $\pi$, então $p(T + m)$ deve variar de $-\frac{\pi}{2}$ a $+\frac{\pi}{2}$ em 4 minutos, levando à escolha de $p = \frac{1}{2}$ e $m = -\frac{5}{2}$, como na alternativa E.

Comentários por alternativa

  1. A $D = 2,5 + \text{tg}\left[30\left(T - \frac{5 - 2\pi}{2}\right)\right]$
    A alternativa A utiliza valores inadequados para os parâmetros de deslocamento e escala, resultando em um período da tangente incompatível com o intervalo de tempo dado. O termo $30$ dentro da tangente é excessivo, e o deslocamento não corresponde ao necessário para alinhar as assíntotas com o intervalo de 0 a 4 minutos.
  2. B $D = 4 + \text{tg}\left[30\left(T + \frac{5}{2}\right)\right]$
    A alternativa B traz $p = 30$, o que reduz demais o período da tangente, tornando-o incompatível com o intervalo de 4 minutos. Além disso, o deslocamento $+\frac{5}{2}$ não posiciona corretamente as assíntotas verticais.
  3. C $D = 4 + \text{tg}\left[2,5\left(T + \frac{5 + 2\pi}{2}\right)\right]$
    A alternativa C apresenta $p = 2,5$ e um deslocamento inadequado, o que faz com que o período da tangente não corresponda ao intervalo de tempo necessário. O termo $4$ como valor de $k$ também não condiz com o contexto do problema.
  4. D $D = 30 + \text{tg}\left[\frac{1}{2}(T - 5)\right]$
    A alternativa D utiliza $k = 30$, o que está correto, mas o termo $(T - 5)$ dentro da tangente desloca as assíntotas para fora do intervalo de 0 a 4 minutos, não atendendo à condição do enunciado.
  5. E $D = 30 + \text{tg}\left[\frac{1}{2}\left(T - \frac{5}{2}\right)\right]$
    A alternativa E está correta porque utiliza $k = 30$ (deslocamento vertical), $p = \frac{1}{2}$ (ajustando o período da tangente para cobrir 4 minutos entre as assíntotas) e $m = -\frac{5}{2}$ (deslocamento horizontal que centraliza o intervalo de tempo entre as assíntotas). Assim, para $T$ variando de 0 a 4, o argumento da tangente vai de $-\frac{\pi}{2}$ a $+\frac{\pi}{2}$, como exige o comportamento da função tangente no contexto do problema.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7
1. Qual é o período da função tangente $\tan(x)$?
O período da função tangente é $\pi$, ou seja, ela se repete a cada $\pi$ unidades no eixo x.
2. O que são assíntotas verticais em funções trigonométricas?
Assíntotas verticais são linhas onde a função não está definida, como em $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ para a tangente.
3. Como o parâmetro $p$ em $\tan[p(T + m)]$ afeta o gráfico?
O parâmetro $p$ controla o período da função; quanto maior $p$, menor o período.
4. Para que serve o parâmetro $k$ em $D = k + \tan[p(T + m)]$?
O parâmetro $k$ desloca o gráfico verticalmente, ajustando o valor inicial ou médio da função.
5. Como determinar o deslocamento horizontal $m$ em funções trigonométricas?
O deslocamento $m$ ajusta onde o ciclo da função começa, centralizando o intervalo de interesse entre as assíntotas.
6. Por que a função tangente é adequada para modelar certos recipientes?
Porque sua variação rápida e assíntotas podem representar mudanças bruscas de altura em recipientes de formato especial.
7. Como encontrar o valor de $p$ para que a tangente cubra um intervalo específico de tempo?
Iguale $p \cdot (T_{final} - T_{inicial})$ ao período desejado da tangente, normalmente $\pi$.

Treino guiado

Detonando o Tema

O DIMVS vai preparar 3 perguntas sobre o mesmo tema desta questão: uma fácil, uma média e uma difícil.

1. Comece pelo fácil 2. Suba para o médio 3. Feche no difícil

Ao responder, você vê a resolução, comentários das alternativas e flashcards. No fim, o resultado mostra seu domínio do tema.