O que caracteriza uma função exponencial?

Uma função exponencial é aquela em que a variável independente aparece no expoente, como em $f(t) = a \times b^t$.

Como se resolve uma inequação exponencial do tipo $a \times b^t > c$?

Isola-se $b^t$, aplica-se logaritmo em ambos os lados e resolve-se para $t$ usando as propriedades dos logaritmos.

Qual a utilidade do logaritmo em problemas de crescimento exponencial?

O logaritmo permite 'trazer o expoente para baixo', facilitando o cálculo do tempo necessário para atingir determinado valor.

Como converter milhares para unidades absolutas em problemas matemáticos?

Multiplica-se o valor em milhares por 1.000 para obter o valor absoluto; por exemplo, 200 mil = 200 × 1.000 = 200.000.

O que significa a base da função exponencial ser maior que 1?

Significa que a função está crescendo, pois cada aumento em $t$ multiplica o valor anterior por um fator maior que 1.

Como se interpreta o resultado de $t \approx 4,25$ em um contexto de semanas?

Significa que o valor desejado é atingido pouco após 4 semanas, mas antes de completar 5 semanas.

Por que é importante usar aproximações de logaritmos em cálculos sem calculadora?

Aproximações permitem resolver problemas numéricos rapidamente e com precisão suficiente para marcar alternativas em provas.

Com isso, a equipe da startup quer saber: qual é o período, em semanas, em que o número de usuários ultrapassa 300 mil?

FUVEST 2026 Questão 18

Uma startup de tecnologia está desenvolvendo um novo aplicativo e observa que o número de usuários está crescendo, em milhares, após $t$ semanas do lançamento, de acordo com a função: $$M(t) = 200 \\times (1,1)^t$$ Note e adote: $\\log 3 \\cong 0,4771$; $\\log 5 \\cong 0,6990$ e $\\log 11 \\cong 1,0414$

Resolução

A questão aborda o crescimento exponencial do número de usuários de um aplicativo, modelado pela função $M(t) = 200 \times (1,1)^t$, onde $M(t)$ é dado em milhares e $t$ em semanas. O objetivo é determinar em qual intervalo de semanas o número de usuários ultrapassa 300 mil (ou seja, $M(t) > 300$). Para isso, é necessário resolver a inequação $200 \times (1,1)^t > 300$, isolando $t$ e utilizando propriedades de logaritmos para encontrar o valor aproximado. O passo a passo envolve dividir ambos os lados por 200, aplicar logaritmo em ambos os lados e utilizar os valores aproximados dos logaritmos fornecidos. O resultado final mostra que $t \approx 4,25$, indicando que o número de usuários ultrapassa 300 mil entre 4 e 6 semanas.

Comentários por alternativa

A Entre 0 e 1 semana.

A alternativa A está incorreta porque, para $t=0$ e $t=1$, o número de usuários ainda está bem abaixo de 300 mil. O crescimento exponencial ainda não atingiu esse patamar tão rapidamente.
B Entre 1 e 3 semanas.

A alternativa B está errada pois, mesmo após 1 a 3 semanas, o número de usuários ainda não ultrapassa 300 mil, conforme mostrado pelo cálculo exponencial.
C Entre 2 e 4 semanas.

A alternativa C está incorreta porque, entre 2 e 4 semanas, o valor de $M(t)$ ainda não atinge 300 mil. O crescimento só ultrapassa esse valor após aproximadamente 4,25 semanas.
D Entre 3 e 4 semanas.

A alternativa D está errada, pois entre 3 e 4 semanas o número de usuários ainda não ultrapassa 300 mil; o valor só é superado após 4 semanas.
E Entre 4 e 6 semanas.

A alternativa E está correta, pois o cálculo mostra que $t \approx 4,25$, ou seja, o número de usuários ultrapassa 300 mil entre 4 e 6 semanas, exatamente como indicado nesta alternativa.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que caracteriza uma função exponencial?: Uma função exponencial é aquela em que a variável independente aparece no expoente, como em $f(t) = a \times b^t$.
2. Como se resolve uma inequação exponencial do tipo $a \times b^t > c$?: Isola-se $b^t$, aplica-se logaritmo em ambos os lados e resolve-se para $t$ usando as propriedades dos logaritmos.
3. Qual a utilidade do logaritmo em problemas de crescimento exponencial?: O logaritmo permite 'trazer o expoente para baixo', facilitando o cálculo do tempo necessário para atingir determinado valor.
4. Como converter milhares para unidades absolutas em problemas matemáticos?: Multiplica-se o valor em milhares por 1.000 para obter o valor absoluto; por exemplo, 200 mil = 200 × 1.000 = 200.000.
5. O que significa a base da função exponencial ser maior que 1?: Significa que a função está crescendo, pois cada aumento em $t$ multiplica o valor anterior por um fator maior que 1.
6. Como se interpreta o resultado de $t \approx 4,25$ em um contexto de semanas?: Significa que o valor desejado é atingido pouco após 4 semanas, mas antes de completar 5 semanas.
7. Por que é importante usar aproximações de logaritmos em cálculos sem calculadora?: Aproximações permitem resolver problemas numéricos rapidamente e com precisão suficiente para marcar alternativas em provas.