O que é probabilidade condicional?

É a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro já ocorreu, calculada por P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.

Como se calcula a probabilidade conjunta de dois eventos independentes?

Multiplicando as probabilidades: P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) se A e B não são independentes.

O que significa uma declaração ser inconsistente na questão?

Significa que ela apresenta algum erro ou conflito nas informações prestadas.

Como se calcula a probabilidade total de fraude na questão?

Somando as probabilidades de fraude entre inconsistentes e consistentes: 0,05 + 0,05 = 0,10.

O que representa P(I|F) na questão?

A probabilidade de uma declaração ser inconsistente, dado que ela é fraudulenta.

Por que é importante separar eventos inconsistentes e consistentes?

Porque as taxas de fraude são diferentes em cada grupo, influenciando o cálculo da probabilidade condicional.

Qual é a diferença entre probabilidade conjunta e condicional?

A conjunta calcula a chance de ambos eventos ocorrerem juntos; a condicional calcula a chance de um ocorrer dado que o outro já ocorreu.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 173

ENEM 2019 Questão 173

Em um determinado ano, os computadores da receita federal de um país identificaram como inconsistentes 20% das declarações de imposto de renda que lhe foram encaminhadas. Uma declaração é classificada como inconsistente quando apresenta algum tipo de erro ou conflito nas informações prestadas. Essas declarações consideradas inconsistentes foram analisadas pelos auditores, que constataram que 25% delas eram fraudulentas. Constatou-se, ainda, que, dentre as declarações que não apresentaram inconsistências, 6,25% eram fraudulentas.

Qual é a probabilidade de, nesse ano, a declaração de um contribuinte ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta?

Resolução

A questão trata de probabilidade condicional, um conceito fundamental em estatística e muito cobrado em vestibulares. O objetivo é encontrar a probabilidade de uma declaração ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta. Para resolver, precisamos organizar as informações: 20% das declarações são inconsistentes (I), e dessas, 25% são fraudulentas (F). Das consistentes (80%), 6,25% são fraudulentas. Calculamos as probabilidades conjuntas: P(I \cap F) = 0,2 \times 0,25 = 0,05 e P(I^c \cap F) = 0,8 \times 0,0625 = 0,05. A probabilidade total de fraude é P(F) = 0,05 + 0,05 = 0,10. A probabilidade pedida é P(I|F) = \frac{P(I \cap F)}{P(F)} = \frac{0,05}{0,10} = 0,5. Portanto, a resposta correta é a alternativa E.

Comentários por alternativa

A 0,0500

A alternativa A (0,0500) representa apenas a probabilidade conjunta de uma declaração ser inconsistente e fraudulenta, não a probabilidade condicional pedida.
B 0,1000

A alternativa B (0,1000) corresponde à probabilidade total de uma declaração ser fraudulenta, não à condicional de inconsistência dado que é fraude.
C 0,1125

A alternativa C (0,1125) não corresponde a nenhum dos cálculos intermediários corretos; pode ser resultado de um erro de soma ou multiplicação.
D 0,3125

A alternativa D (0,3125) também não corresponde a nenhuma etapa correta do raciocínio; pode ser um distrator para quem confunde as probabilidades condicionais.
E 0,5000

A alternativa E (0,5000) está correta porque, ao aplicar a fórmula da probabilidade condicional, encontramos que metade das declarações fraudulentas são inconsistentes, ou seja, P(I|F) = $\frac{0,05}{0,10} = 0,5.$

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é probabilidade condicional?: É a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro já ocorreu, calculada por P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.
2. Como se calcula a probabilidade conjunta de dois eventos independentes?: Multiplicando as probabilidades: P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) se A e B não são independentes.
3. O que significa uma declaração ser inconsistente na questão?: Significa que ela apresenta algum erro ou conflito nas informações prestadas.
4. Como se calcula a probabilidade total de fraude na questão?: Somando as probabilidades de fraude entre inconsistentes e consistentes: 0,05 + 0,05 = 0,10.
5. O que representa P(I|F) na questão?: A probabilidade de uma declaração ser inconsistente, dado que ela é fraudulenta.
6. Por que é importante separar eventos inconsistentes e consistentes?: Porque as taxas de fraude são diferentes em cada grupo, influenciando o cálculo da probabilidade condicional.
7. Qual é a diferença entre probabilidade conjunta e condicional?: A conjunta calcula a chance de ambos eventos ocorrerem juntos; a condicional calcula a chance de um ocorrer dado que o outro já ocorreu.