Como é a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano?

A equação geral é $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, onde (a,b) é o centro e r é o raio.

Como determinar o centro de um quadrado dado dois vértices adjacentes?

O centro é o ponto médio da diagonal, que pode ser encontrado pela média aritmética das coordenadas dos vértices opostos.

O que significa uma circunferência ser tangente a um lado de um quadrado em seu ponto médio?

Significa que o raio da circunferência liga o centro ao ponto médio do lado, formando um ângulo reto com o lado.

Como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano?

Usa-se a fórmula $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

O que caracteriza um quadrado no sistema cartesiano?

Quatro lados congruentes e ângulos retos, com lados paralelos aos eixos se os vértices têm coordenadas alinhadas.

Como determinar o raio de uma circunferência tangente a um lado do quadrado?

O raio é a distância do centro da circunferência ao ponto de tangência, que neste caso é o ponto médio do lado.

Por que é importante identificar o centro do quadrado para resolver a questão?

Porque a posição do centro do prédio é dada em relação ao centro do quadrado, determinando a localização exata da circunferência.

Engenheiros estavam mapeando um terreno para construção de um empreendimento com quatro prédios em formato cilíndrico distribuídos em torno de uma praça com o formato quadrado. Para a construção dos prédios, os engenheiros demarcaram os vértices da praça nos pontos $A = (0,0)$, $B = (8,0)$, C e D, em sistema de coordenadas cartesianas onde cada unidade corresponde a um metro. Sabendo-se que a borda da seção circular de cada prédio tangencia cada lado do quadrado no seu ponto médio, qual deve ser a equação da circunferência do prédio que tem uma distância de 10 m do seu centro até o centro do quadrado e que passa pelo ponto de tangência $P$, conforme a figura?

FUVEST 2026 Questão 37

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Resolução

A questão envolve geometria analítica, especificamente circunferências e quadrados em um sistema cartesiano. O problema pede a equação da circunferência de um prédio cilíndrico, sabendo que seu centro está a 10 m do centro do quadrado e que a circunferência tangencia o lado do quadrado em seu ponto médio. Primeiro, identificamos os vértices do quadrado: A = (0,0), B = (8,0). Como o quadrado tem lado 8, o centro é (4,4). Os pontos médios dos lados são (4,0), (8,4), (4,8), (0,4). O centro do prédio deve estar alinhado com um desses pontos, mas a 10 m do centro do quadrado. Calculando a posição, vemos que o centro do prédio está em (14,4) (10 unidades à direita do centro do quadrado). O raio é a distância do centro do prédio ao ponto médio do lado, que é 6 (de (14,4) a (8,4)). Assim, a equação é $(x-14)^2 + (y-4)^2 = 36$.

Comentários por alternativa

A $(x - 14)^{2} + (y - 4)^{2} = 36$

Correta. A alternativa A traz a equação $(x-14)^2 + (y-4)^2 = 36$, que corresponde a uma circunferência de raio 6 e centro em (14,4), exatamente como determinado pelo enunciado: 10 unidades do centro do quadrado e tangenciando o lado em seu ponto médio.
B $(x - 18)^{2} + (y - 4)^{2} = 100$

Errada. A alternativa B apresenta centro em (18,4) e raio 10, o que não corresponde à posição correta do prédio nem ao raio necessário para tangenciar o lado do quadrado.
C $(x - 8)^{2} + (y - 24)^{2} = 36$

Errada. A alternativa C coloca o centro em (8,24), muito distante do quadrado, e raio 6, o que não faz sentido para a configuração descrita.
D $x^{2} + y^{2} = 36$

Errada. A alternativa D representa uma circunferência centrada na origem (0,0), o que não corresponde à posição de nenhum prédio conforme o enunciado.
E $(x - 4)^{2} + (y - 24)^{2} = 100$

Errada. A alternativa E tem centro em (4,24) e raio 10, o que não corresponde à posição nem ao raio corretos para o prédio descrito.

Flashcards

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1. Como é a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano?: A equação geral é $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, onde (a,b) é o centro e r é o raio.
2. Como determinar o centro de um quadrado dado dois vértices adjacentes?: O centro é o ponto médio da diagonal, que pode ser encontrado pela média aritmética das coordenadas dos vértices opostos.
3. O que significa uma circunferência ser tangente a um lado de um quadrado em seu ponto médio?: Significa que o raio da circunferência liga o centro ao ponto médio do lado, formando um ângulo reto com o lado.
4. Como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano?: Usa-se a fórmula $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
5. O que caracteriza um quadrado no sistema cartesiano?: Quatro lados congruentes e ângulos retos, com lados paralelos aos eixos se os vértices têm coordenadas alinhadas.
6. Como determinar o raio de uma circunferência tangente a um lado do quadrado?: O raio é a distância do centro da circunferência ao ponto de tangência, que neste caso é o ponto médio do lado.
7. Por que é importante identificar o centro do quadrado para resolver a questão?: Porque a posição do centro do prédio é dada em relação ao centro do quadrado, determinando a localização exata da circunferência.