Como é a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano?

A equação geral é $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, onde (a,b) é o centro e r é o raio.

Como determinar o centro de um quadrado dado dois vértices adjacentes?

O centro é o ponto médio da diagonal, que pode ser encontrado pela média aritmética das coordenadas dos vértices opostos.

O que significa uma circunferência ser tangente a um lado de um quadrado em seu ponto médio?

Significa que o raio da circunferência liga o centro ao ponto médio do lado, formando um ângulo reto com o lado.

Como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano?

Usa-se a fórmula $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

O que caracteriza um quadrado no sistema cartesiano?

Quatro lados congruentes e ângulos retos, com lados paralelos aos eixos se os vértices têm coordenadas alinhadas.

Como determinar o raio de uma circunferência tangente a um lado do quadrado?

O raio é a distância do centro da circunferência ao ponto de tangência, que neste caso é o ponto médio do lado.

Por que é importante identificar o centro do quadrado para resolver a questão?

Porque a posição do centro do prédio é dada em relação ao centro do quadrado, determinando a localização exata da circunferência.

Questão 37 — Engenheiros estavam mapeando um terreno para construção de um empreendimento com quatro prédios em formato cilíndrico distribuídos em torno de uma pr…

FUVEST 2026 Questão 37

Engenheiros estavam mapeando um terreno para construção de um empreendimento com quatro prédios em formato cilíndrico distribuídos em torno de uma praça com o formato quadrado. Para a construção dos prédios, os engenheiros demarcaram os vértices da praça nos pontos $A = (0,0)$, $B = (8,0)$, C e D, em sistema de coordenadas cartesianas onde cada unidade corresponde a um metro. Sabendo-se que a borda da seção circular de cada prédio tangencia cada lado do quadrado no seu ponto médio, qual deve ser a equação da circunferência do prédio que tem uma distância de 10 m do seu centro até o centro do quadrado e que passa pelo ponto de tangência $P$, conforme a figura?

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Resolução

Resposta correta: Letra A — $(x - 14)^{2} + (y - 4)^{2} = 36$

A questão envolve geometria analítica, especificamente circunferências e quadrados em um sistema cartesiano. O problema pede a equação da circunferência de um prédio cilíndrico, sabendo que seu centro está a 10 m do centro do quadrado e que a circunferência tangencia o lado do quadrado em seu ponto médio. Primeiro, identificamos os vértices do quadrado: A = (0,0), B = (8,0). Como o quadrado tem lado 8, o centro é (4,4). Os pontos médios dos lados são (4,0), (8,4), (4,8), (0,4). O centro do prédio deve estar alinhado com um desses pontos, mas a 10 m do centro do quadrado. Calculando a posição, vemos que o centro do prédio está em (14,4) (10 unidades à direita do centro do quadrado). O raio é a distância do centro do prédio ao ponto médio do lado, que é 6 (de (14,4) a (8,4)). Assim, a equação é $(x-14)^2 + (y-4)^2 = 36$.

Comentários por alternativa

A $(x - 14)^{2} + (y - 4)^{2} = 36$

Correta. A alternativa A traz a equação $(x-14)^2 + (y-4)^2 = 36$, que corresponde a uma circunferência de raio 6 e centro em (14,4), exatamente como determinado pelo enunciado: 10 unidades do centro do quadrado e tangenciando o lado em seu ponto médio.
B $(x - 18)^{2} + (y - 4)^{2} = 100$

Errada. A alternativa B apresenta centro em (18,4) e raio 10, o que não corresponde à posição correta do prédio nem ao raio necessário para tangenciar o lado do quadrado.
C $(x - 8)^{2} + (y - 24)^{2} = 36$

Errada. A alternativa C coloca o centro em (8,24), muito distante do quadrado, e raio 6, o que não faz sentido para a configuração descrita.
D $x^{2} + y^{2} = 36$

Errada. A alternativa D representa uma circunferência centrada na origem (0,0), o que não corresponde à posição de nenhum prédio conforme o enunciado.
E $(x - 4)^{2} + (y - 24)^{2} = 100$

Errada. A alternativa E tem centro em (4,24) e raio 10, o que não corresponde à posição nem ao raio corretos para o prédio descrito.

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1. Como é a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano?: A equação geral é $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, onde (a,b) é o centro e r é o raio.
2. Como determinar o centro de um quadrado dado dois vértices adjacentes?: O centro é o ponto médio da diagonal, que pode ser encontrado pela média aritmética das coordenadas dos vértices opostos.
3. O que significa uma circunferência ser tangente a um lado de um quadrado em seu ponto médio?: Significa que o raio da circunferência liga o centro ao ponto médio do lado, formando um ângulo reto com o lado.
4. Como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano?: Usa-se a fórmula $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
5. O que caracteriza um quadrado no sistema cartesiano?: Quatro lados congruentes e ângulos retos, com lados paralelos aos eixos se os vértices têm coordenadas alinhadas.
6. Como determinar o raio de uma circunferência tangente a um lado do quadrado?: O raio é a distância do centro da circunferência ao ponto de tangência, que neste caso é o ponto médio do lado.
7. Por que é importante identificar o centro do quadrado para resolver a questão?: Porque a posição do centro do prédio é dada em relação ao centro do quadrado, determinando a localização exata da circunferência.

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