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Questão 55 — Existem números curiosos na matemática. Os números perfeitos são alguns deles. Um número $n$ (para $n \in \mathbb{N}^*$) é perfeito se, e somente se,…

FUVEST 2026 Questão 55

Existem números curiosos na matemática. Os números perfeitos são alguns deles. Um número $n$ (para $n \in \mathbb{N}^*$) é perfeito se, e somente se, for igual à soma de seus divisores positivos (excluindo o próprio). Relacionando números perfeitos e números primos, Euclides escreveu uma proposição em seu famoso livro “Elementos”: se $2^n - 1$ é um número primo, então $2^{n-1}(2^n - 1)$ é um número perfeito.

Considerando o que foi exposto, é correto afirmar:

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Resolução

Resposta correta: Letra B — Os termos da progressão geométrica, cujo primeiro termo é o primeiro número perfeito e cuja razão é 3, são pares.

A questão aborda o conceito de números perfeitos, definidos como aqueles iguais à soma de seus divisores positivos (excluindo o próprio número), e sua relação com números primos, especialmente os chamados primos de Mersenne, da forma $2^n - 1$. O enunciado cita a proposição de Euclides: se $2^n - 1$ é primo, então $2^{n-1}(2^n - 1)$ é perfeito. Para resolver, é necessário entender o que caracteriza números perfeitos, progressões geométricas e aritméticas, identificar primos de Mersenne, e analisar as propriedades das sequências apresentadas nas alternativas. A alternativa correta é a B, pois os termos de uma PG com primeiro termo igual a 6 (primeiro número perfeito) e razão 3 são todos pares, já que 6 é par e a multiplicação por 3 não altera a paridade do termo inicial. As demais alternativas apresentam erros conceituais ou de cálculo, como confundir números primos com números perfeitos, ou interpretar erroneamente propriedades de progressões.

Comentários por alternativa

  1. A Com exceção de $n = 1$, os 5 primeiros termos da sequência $(a_n) = (2^n - 1)$ são números primos.
    A alternativa A está errada porque, para $n = 4$, $2^4 - 1 = 15$, que não é primo. Portanto, não são os 5 primeiros termos da sequência $(2^n - 1)$ (com exceção de $n=1$) que são primos.
  2. B Os termos da progressão geométrica, cujo primeiro termo é o primeiro número perfeito e cuja razão é 3, são pares.
    A alternativa B está correta. O primeiro número perfeito é 6, que é par. Em uma progressão geométrica de razão 3, todos os termos seguintes (6, 18, 54, 162, ...) também são pares, pois 6 é par e qualquer múltiplo de 6 será par.
  3. C Os números 28 e 31 são números perfeitos.
    A alternativa C está errada porque 28 é um número perfeito, mas 31 não é. 31 é primo, não perfeito, pois a soma de seus divisores próprios é 1.
  4. D Na proposição de Euclides, para $n = 4$, obtemos que $2^n - 1$ não é primo, mas que $2^{n-1}(2^n - 1)$ é perfeito.
    A alternativa D está errada, pois para $n = 4$, $2^4 - 1 = 15$ não é primo, e $2^{3} \times 15 = 120$ não é um número perfeito (os divisores próprios de 120 somam mais que 120).
  5. E A sequência formada pela diferença dos termos consecutivos de $(a_n) = (2^n - 1)$ é uma progressão aritmética de razão 2.
    A alternativa E está errada porque a sequência das diferenças dos termos consecutivos de $(2^n - 1)$ é $2, 4, 8, 16, ...$, formando uma progressão geométrica, não aritmética.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7
1. O que é um número perfeito?
É um número natural igual à soma de seus divisores positivos, excluindo ele mesmo.
2. Qual a relação entre números perfeitos e primos de Mersenne?
Se $2^n - 1$ é primo (primo de Mersenne), então $2^{n-1}(2^n - 1)$ é um número perfeito.
3. Dê um exemplo de número perfeito e explique por que ele é perfeito.
O número 6 é perfeito porque seus divisores próprios (1, 2, 3) somam 6.
4. O que caracteriza uma progressão geométrica?
É uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante.
5. O que é um primo de Mersenne?
É um número primo da forma $2^n - 1$, onde $n$ é um número natural.
6. Como identificar se um número é perfeito?
Some todos os divisores positivos do número, exceto ele mesmo; se a soma for igual ao número, ele é perfeito.
7. A sequência das diferenças entre termos consecutivos de $(2^n - 1)$ é aritmética ou geométrica?
É geométrica, pois as diferenças dobram a cada termo: $2, 4, 8, 16, ...$.

Treino guiado

Detonando o Tema

O DIMVS vai preparar 3 perguntas sobre o mesmo tema desta questão: uma fácil, uma média e uma difícil.

1. Comece pelo fácil 2. Suba para o médio 3. Feche no difícil

Ao responder, você vê a resolução, comentários das alternativas e flashcards. No fim, o resultado mostra seu domínio do tema.

FUVEST · 2026 · 1º Fase · Questão 55