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Matemática e suas Tecnologias

Questão 152 — O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamen…

ENEM 2015 Questão 152

O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere $P$ a quantidade anual de produtos fabricados no ano $t$ de funcionamento da indústria.

Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas $P$ em função de $t$, para $t \geq 1$?

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Resolução

Resposta correta: Letra E — $P(t) = 8\,000 \cdot (1{,}5)^{t-1}$

A questão trata de modelagem matemática de crescimento de produção ao longo do tempo, provavelmente em um contexto de progressão geométrica (crescimento percentual). O comando pede a expressão que relaciona o número de unidades produzidas, P, em função do tempo t, para t \geq 1. O padrão das alternativas sugere um crescimento multiplicativo, típico de progressão geométrica, onde a produção inicial é multiplicada por um fator de crescimento a cada período. O termo (1,5) indica um aumento de 50% ao ano, ou seja, a cada ano a produção é multiplicada por 1,5. Assim, a expressão correta é P(t) = 8\ 000 \cdot (1,5)^{t-1}, pois para t = 1 (primeiro ano), P(1) = 8\ 000, e para cada ano seguinte, multiplica-se por 1,5 elevado ao número de anos passados desde o início.

Comentários por alternativa

  1. A $P(t) = 0{,}5 \cdot t^{-1} + 8\,000$
    A alternativa A está errada porque utiliza um crescimento linear (adição de uma constante) e não exponencial. O correto seria um fator multiplicativo, não aditivo.
  2. B $P(t) = 50 \cdot t^{-1} + 8\,000$
    A alternativa B também representa um crescimento linear (adição de 50 unidades por período), o que não reflete um aumento percentual, mas sim absoluto.
  3. C $P(t) = 4\,000 \cdot t^{-1} + 8\,000$
    A alternativa C é um crescimento linear ainda maior, somando 4\ 000 a cada período, o que não corresponde ao padrão de crescimento exponencial esperado.
  4. D $P(t) = 8\,000 \cdot (0{,}5)^{t-1}$
    A alternativa D utiliza um fator de 0,5, o que indicaria uma redução de 50% ao ano, e não um aumento. Além disso, a estrutura da expressão não corresponde ao padrão correto de progressão geométrica.
  5. E $P(t) = 8\,000 \cdot (1{,}5)^{t-1}$
    A alternativa E está correta porque representa um crescimento exponencial de 50% ao ano, começando com 8\ 000 unidades no primeiro ano. A expressão P(t) = 8\ 000 $\cdot (1,5)^{t-1}$ é a forma padrão para progressão geométrica, onde 8\ 000 é o valor inicial e 1,5 o fator de crescimento a cada período.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7
1. O que caracteriza uma progressão geométrica (PG)?
Uma PG é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão.
2. Como se calcula o n-ésimo termo de uma PG?
O n-ésimo termo é dado por a_n = a_1 \cdot r^{n-1}, onde a_1 é o termo inicial e r é a razão.
3. Qual a diferença entre crescimento linear e exponencial?
No crescimento linear soma-se uma quantidade fixa a cada período; no exponencial, multiplica-se por um fator fixo.
4. O que significa um fator de crescimento de 1,5 ao ano?
Significa que a cada ano o valor é multiplicado por 1,5, representando um aumento de 50% em relação ao ano anterior.
5. Como identificar se o crescimento é percentual ou absoluto?
Crescimento percentual envolve multiplicação por um fator; crescimento absoluto envolve adição de uma constante.
6. Por que se usa (t-1) no expoente da expressão da PG?
Porque o termo inicial corresponde a t=1, e o expoente indica quantos períodos se passaram desde o início.
7. Qual é a expressão geral para crescimento exponencial a partir de um valor inicial?
É P(t) = P_0 \cdot r^{t-1}, onde P_0 é o valor inicial e r é o fator de crescimento por período.

Treino guiado

Detonando o Tema

O DIMVS vai preparar 3 perguntas sobre o mesmo tema desta questão: uma fácil, uma média e uma difícil.

1. Comece pelo fácil 2. Suba para o médio 3. Feche no difícil

Ao responder, você vê a resolução, comentários das alternativas e flashcards. No fim, o resultado mostra seu domínio do tema.