O que é a hipotenusa em um triângulo retângulo?

É o lado oposto ao ângulo reto, sendo o maior lado do triângulo.

Como se calcula o seno de um ângulo em um triângulo retângulo?

O seno é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa: $\sin(a) = \frac{cateto\ oposto}{hipotenusa}$.

Qual a relação trigonométrica usada para encontrar o comprimento do cabo nesta questão?

Usa-se $L = \frac{h}{\sin(a)}$, onde L é o comprimento do cabo, h a altura e a o ângulo com o solo.

Qual o valor de $\sin(45^\circ)$?

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Por que o menor comprimento de cabo é desejável na instalação?

Porque cabos mais curtos tendem a ser mais estáveis e seguros, além de economizarem material.

Como converter $12\sqrt{2}$ para valor aproximado decimal?

$12\sqrt{2} \approx 16,97$ metros.

O que representa o ângulo a nesta situação?

É o ângulo formado entre o cabo de aço e o plano do chão.

Ciências Humanas e suas Tecnologias

Questão 148

ENEM 2023 Questão 148

O mastro de uma bandeira foi instalado perpendicularmente ao solo em uma região plana. Devido aos fortes ventos, três cabos de aço, de mesmo comprimento, serão instalados para dar sustentação ao mastro. Cada cabo de aço ficará perfeitamente esticado, com uma extremidade num ponto P do mastro, a uma altura h do solo, e a outra extremidade, num ponto no chão, como mostra a figura.

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Os cabos de aço formam um ângulo a com o plano do chão. Por medida de segurança, há apenas três opções de instalação: • opção I: h = 11 m e a = 30° • opção II: h = 12 m e a = 45° • opção III: h = 18 m e a = 60° A opção a ser escolhida é aquela em que a medida dos cabos seja a menor possível. Qual será a medida, em metro, de cada um dos cabos a serem instalados?

Resolução

A questão trata da aplicação de trigonometria no contexto de um mastro sustentado por cabos de aço. O objetivo é determinar, entre três opções de altura e ângulo de inclinação dos cabos em relação ao solo, qual resulta no cabo mais curto. O raciocínio envolve visualizar o triângulo retângulo formado pelo mastro (altura h), o cabo (hipotenusa) e a projeção no solo (cateto adjacente ao ângulo a). O comprimento do cabo pode ser encontrado usando a relação trigonométrica do seno: $\sin(a) = \frac{h}{L}$, onde $L$ é o comprimento do cabo. Assim, $L = \frac{h}{\sin(a)}$. Calculando para cada opção: I) $L_1 = \frac{11}{\sin(30^\circ)} = \frac{11}{0,5} = 22$ m; II) $L_2 = \frac{12}{\sin(45^\circ)} = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 12 \sqrt{2} \approx 16,97$ m; III) $L_3 = \frac{18}{\sin(60^\circ)} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 18 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 12 \sqrt{3} \approx 20,78$ m. Portanto, a menor medida é $12\sqrt{2}$ metros, correspondente à opção II.

Comentários por alternativa

A

A alternativa A está incorreta porque não corresponde ao menor comprimento de cabo calculado pelas opções dadas.
B

A alternativa B está incorreta, pois apresenta um valor que não corresponde ao cálculo correto do comprimento do cabo para nenhuma das opções.
C

A alternativa C está correta, pois $12\sqrt{2}$ metros é o menor comprimento possível, obtido ao aplicar a relação trigonométrica do seno para a opção II (h = 12 m, a = 45^\circ).
D

A alternativa D está errada, pois apresenta um valor maior do que o mínimo encontrado, não sendo a resposta correta.
E

A alternativa E está incorreta, pois não representa o menor comprimento de cabo possível entre as opções analisadas.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7

1. O que é a hipotenusa em um triângulo retângulo?: É o lado oposto ao ângulo reto, sendo o maior lado do triângulo.
2. Como se calcula o seno de um ângulo em um triângulo retângulo?: O seno é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa: $\sin(a) = \frac{cateto\ oposto}{hipotenusa}$.
3. Qual a relação trigonométrica usada para encontrar o comprimento do cabo nesta questão?: Usa-se $L = \frac{h}{\sin(a)}$, onde L é o comprimento do cabo, h a altura e a o ângulo com o solo.
4. Qual o valor de $\sin(45^\circ)$?: $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
5. Por que o menor comprimento de cabo é desejável na instalação?: Porque cabos mais curtos tendem a ser mais estáveis e seguros, além de economizarem material.
6. Como converter $12\sqrt{2}$ para valor aproximado decimal?: $12\sqrt{2} \approx 16,97$ metros.
7. O que representa o ângulo a nesta situação?: É o ângulo formado entre o cabo de aço e o plano do chão.