O que é o desenvolvimento lateral de um cilindro?

É a representação plana da superfície lateral do cilindro, formando um retângulo cujo comprimento é o perímetro da base e altura é a altura do cilindro.

Como se calcula o perímetro da base de um cilindro circular reto?

O perímetro é dado por $2\pi r$, onde $r$ é o raio da base.

O que representa a diagonal no desenvolvimento lateral do cilindro?

A diagonal representa a trajetória helicoidal formada ao enrolar a faixa, sendo a hipotenusa do retângulo formado pelo desenvolvimento.

Como relacionar a tangente do ângulo com as dimensões do retângulo?

A tangente do ângulo é a razão entre a altura do retângulo e o comprimento da base: $\tan \theta = \frac{h}{b}$.

Como encontrar a altura do cilindro a partir do ângulo e do raio?

Use $\tan \theta = \frac{h}{2\pi r}$ e isole $h$ para encontrar a altura.

Por que a hélice formada pela diagonal é uma linha reta no desenvolvimento?

Porque ao desenrolar a superfície, a trajetória helicoidal se transforma em uma diagonal reta no retângulo.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 180

ENEM 2018 Questão 180

Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que forma 30° com a borda inferior. O raio da base do cilindro mede $\frac{6}{\pi}$ cm, e ao enrolar a faixa obtém-se uma linha em formato de hélice, como na figura.

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O valor da medida da altura do cilindro, em centímetro, é

Resolução

A questão envolve um cilindro circular reto sendo decorado com uma faixa retangular de papel transparente, na qual há uma diagonal desenhada formando 30° com a base. Ao enrolar a faixa, a diagonal gera uma hélice na superfície do cilindro. O objetivo é determinar a altura do cilindro, dado o raio da base $r = \frac{6}{\pi}$ cm. O conceito central é o desenvolvimento do cilindro: ao desenrolar sua superfície lateral, obtemos um retângulo de altura $h$ (altura do cilindro) e comprimento igual ao perímetro da base $2\pi r$. A diagonal da faixa, ao ser enrolada, corresponde à trajetória helicoidal, que no desenvolvimento é a diagonal do retângulo. Como a diagonal faz 30° com a base, podemos usar trigonometria: $\tan 30^\circ = \frac{h}{2\pi r}$. Substituindo $r = \frac{6}{\pi}$, temos $2\pi r = 2\pi \cdot \frac{6}{\pi} = 12$. Assim, $\tan 30^\circ = \frac{h}{12}$, e como $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, temos $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{12} \Rightarrow h = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ cm. Portanto, a alternativa correta é a B.

Comentários por alternativa

A

A alternativa A está incorreta pois não considera corretamente a relação trigonométrica entre a altura e o comprimento do cilindro, ou erra na substituição dos valores.
B

A alternativa B está correta porque utiliza a relação $\tan 30^\circ = \frac{h}{2\pi r}$, substitui corretamente $r = \frac{6}{\pi}$ e chega ao resultado $h = 4\sqrt{3}$ cm.
C

A alternativa C está errada pois provavelmente resulta de um erro ao aplicar a tangente ou ao calcular o comprimento do retângulo (superfície lateral).
D

A alternativa D está incorreta por usar uma razão trigonométrica errada ou por confundir o comprimento da base com a altura.
E

A alternativa E está errada porque não respeita a relação entre a diagonal, o ângulo e as dimensões do retângulo formado pelo desenvolvimento do cilindro.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é o desenvolvimento lateral de um cilindro?: É a representação plana da superfície lateral do cilindro, formando um retângulo cujo comprimento é o perímetro da base e altura é a altura do cilindro.
2. Como se calcula o perímetro da base de um cilindro circular reto?: O perímetro é dado por $2\pi r$, onde $r$ é o raio da base.
3. O que representa a diagonal no desenvolvimento lateral do cilindro?: A diagonal representa a trajetória helicoidal formada ao enrolar a faixa, sendo a hipotenusa do retângulo formado pelo desenvolvimento.
4. Como relacionar a tangente do ângulo com as dimensões do retângulo?: A tangente do ângulo é a razão entre a altura do retângulo e o comprimento da base: $\tan \theta = \frac{h}{b}$.
5. Qual o valor de $\tan 30^\circ$?: $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
6. Como encontrar a altura do cilindro a partir do ângulo e do raio?: Use $\tan \theta = \frac{h}{2\pi r}$ e isole $h$ para encontrar a altura.
7. Por que a hélice formada pela diagonal é uma linha reta no desenvolvimento?: Porque ao desenrolar a superfície, a trajetória helicoidal se transforma em uma diagonal reta no retângulo.