Questão 180 — Para decorar um cilindro circular reto será usada uma faixa retangular de papel transparente, na qual está desenhada em negrito uma diagonal que form…

A questão envolve um cilindro circular reto sendo decorado com uma faixa retangular de papel transparente, na qual há uma diagonal desenhada formando 30° com a base. Ao enrolar a faixa, a diagonal gera uma hélice na superfície do cilindro. O objetivo é determinar a altura do cilindro, dado o raio da base $r = \frac{6}{\pi}$ cm. O conceito central é o desenvolvimento do cilindro: ao desenrolar sua superfície lateral, obtemos um retângulo de altura $h$ (altura do cilindro) e comprimento igual ao perímetro da base $2\pi r$. A diagonal da faixa, ao ser enrolada, corresponde à trajetória helicoidal, que no desenvolvimento é a diagonal do retângulo. Como a diagonal faz 30° com a base, podemos usar trigonometria: $\tan 30^\circ = \frac{h}{2\pi r}$. Substituindo $r = \frac{6}{\pi}$, temos $2\pi r = 2\pi \cdot \frac{6}{\pi} = 12$. Assim, $\tan 30^\circ = \frac{h}{12}$, e como $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$, temos $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{12} \Rightarrow h = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$ cm. Portanto, a alternativa correta é a B.