Qual é a fórmula do volume de um cilindro?

O volume do cilindro é dado por $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura.

Como se calcula o volume de uma esfera?

O volume de uma esfera é $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, sendo $r$ o raio da esfera.

Por que é importante usar o raio e não o diâmetro na fórmula do volume da esfera?

Porque a fórmula envolve $r^3$, e usar o diâmetro no lugar do raio altera drasticamente o resultado, já que $r = \frac{d}{2}$.

O que significa considerar que não há perda de material na reciclagem?

Significa que todo o volume do cilindro será transformado em esferas, sem desperdício, permitindo usar a razão direta dos volumes.

Como converter o diâmetro em raio para calcular o volume da esfera?

O raio é metade do diâmetro, ou seja, $r = \frac{d}{2}$.

Por que se divide o volume do cilindro pelo volume da esfera para encontrar o número de esferas?

Porque cada esfera consome um volume igual ao seu próprio, então a quantidade total é a razão entre os volumes.

Qual é a importância de elevar o raio ao cubo na fórmula do volume da esfera?

Elevar ao cubo reflete o fato de que o volume é uma medida tridimensional, então pequenas mudanças no raio causam grandes alterações no volume.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 174 — Peças metálicas de aeronaves abandonadas em aeroportos serão recicladas. Uma dessas peças é maciça e tem o formato cilíndrico, com a medida do raio d…

ENEM 2022 Questão 174

Peças metálicas de aeronaves abandonadas em aeroportos serão recicladas. Uma dessas peças é maciça e tem o formato cilíndrico, com a medida do raio da base igual a 4 cm e a da altura igual a 50 cm. Ela será derretida, e o volume de metal resultante será utilizado para a fabricação de esferas maciças com diâmetro de 1 cm, a serem usadas para confeccionar rolamentos. Para estimar a quantidade de esferas que poderão ser produzidas a partir de cada uma das peças cilíndricas, admite-se que não ocorre perda de material durante o processo de derretimento.

Quantas dessas esferas poderão ser obtidas a partir de cada peça cilíndrica?

Resolução

Resposta correta: Letra D — 4800

A questão aborda o cálculo do volume de sólidos geométricos (cilindro e esfera) e a aplicação da conservação de volume em processos de transformação de materiais. O objetivo é descobrir quantas esferas de 1 cm de diâmetro podem ser produzidas a partir de um cilindro maciço de raio 4 cm e altura 50 cm, sem perda de material. Primeiro, calcula-se o volume do cilindro usando a fórmula $V_{cil} = \pi r^2 h$, com $r = 4$ cm e $h = 50$ cm. Em seguida, calcula-se o volume de uma esfera de raio 0,5 cm ($V_{esf} = \frac{4}{3}\pi r^3$). Por fim, divide-se o volume do cilindro pelo volume de uma esfera para obter a quantidade de esferas. O passo a passo é: 1) $V_{cil} = \pi \times 16 \times 50 = 800\pi$ cm³; 2) $V_{esf} = \frac{4}{3}\pi \times (0,5)^3 = \frac{4}{3}\pi \times 0,125 = \frac{1}{6}\pi$ cm³; 3) $n = \frac{800\pi}{\frac{1}{6}\pi} = 800 \times 6 = 4800$. Portanto, a alternativa correta é a D.

Comentários por alternativa

A 800

A alternativa A (800) subestima o número de esferas, provavelmente por erro ao calcular o volume da esfera ou ao não considerar corretamente a razão entre os volumes.
B 1200

A alternativa B (1200) também é um valor muito baixo, indicando erro semelhante ao da alternativa A, talvez desconsiderando o fator de conversão do raio ou esquecendo de elevar ao cubo.
C 2400

A alternativa C (2400) é metade do valor correto, sugerindo que houve erro ao calcular o volume da esfera (talvez usando o raio como 1 cm em vez de 0,5 cm).
D 4800

A alternativa D (4800) está correta, pois resulta da divisão exata do volume do cilindro pelo volume de uma esfera, considerando todos os fatores geométricos e matemáticos corretamente.
E 6400

A alternativa E (6400) superestima o número de esferas, provavelmente por erro ao calcular o volume da esfera (talvez usando o diâmetro em vez do raio ou esquecendo de elevar ao cubo).

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1. Qual é a fórmula do volume de um cilindro?: O volume do cilindro é dado por $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura.
2. Como se calcula o volume de uma esfera?: O volume de uma esfera é $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, sendo $r$ o raio da esfera.
3. Por que é importante usar o raio e não o diâmetro na fórmula do volume da esfera?: Porque a fórmula envolve $r^3$, e usar o diâmetro no lugar do raio altera drasticamente o resultado, já que $r = \frac{d}{2}$.
4. O que significa considerar que não há perda de material na reciclagem?: Significa que todo o volume do cilindro será transformado em esferas, sem desperdício, permitindo usar a razão direta dos volumes.
5. Como converter o diâmetro em raio para calcular o volume da esfera?: O raio é metade do diâmetro, ou seja, $r = \frac{d}{2}$.
6. Por que se divide o volume do cilindro pelo volume da esfera para encontrar o número de esferas?: Porque cada esfera consome um volume igual ao seu próprio, então a quantidade total é a razão entre os volumes.
7. Qual é a importância de elevar o raio ao cubo na fórmula do volume da esfera?: Elevar ao cubo reflete o fato de que o volume é uma medida tridimensional, então pequenas mudanças no raio causam grandes alterações no volume.

Questão 174 — Peças metálicas de aeronaves abandonadas em aeroportos serão recicladas. Uma dessas peças é maciça e tem o formato cilíndrico, com a medida do raio d…

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