O que é uma progressão aritmética (PA)?

É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão.

Como se calcula o n-ésimo termo de uma PA?

O n-ésimo termo é dado por $a_n = a_1 + (n-1)r$, onde $a_1$ é o primeiro termo e r é a razão.

Qual a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA?

A soma é $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ ou $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)r]$.

Como obter a razão de uma PA conhecendo dois termos consecutivos?

Basta subtrair o termo anterior do posterior: $r = a_{n+1} - a_n$.

O que representa a diferença entre termos consecutivos da sequência de somas de uma PA?

A diferença $s_{n+1} - s_n$ é igual ao termo $a_{n+1}$ da PA original.

Se conheço três somas consecutivas de uma PA, como encontro a razão?

Calcule as diferenças entre as somas para obter dois termos consecutivos da PA e subtraia-os para achar a razão.

Por que a sequência das somas de uma PA não é uma PA?

Porque a diferença entre termos consecutivos da sequência de somas não é constante, mas sim igual aos termos da PA original, que variam conforme a razão.

Questão 56 — Seja $(a_n) = (a_1, a_2, a_3,\ldots)$ uma progressão aritmética de razão $r$ e seja $(s_1, s_2, s_3,\ldots)$ a sequência definida por $s_n = a_1 + \c…

UNICAMP 2025 Questão 56

Seja $(a_n) = (a_1, a_2, a_3,\ldots)$ uma progressão aritmética de razão $r$ e seja $(s_1, s_2, s_3,\ldots)$ a sequência definida por $s_n = a_1 + \cdots + a_n$, isto é, o seu $n$-ésimo termo é a soma dos $n$ primeiros termos da sequência $(a_n)$. Sabendo que 168, 220 e 279 são termos consecutivos da sequência $(s_n)$, a razão da progressão aritmética $(a_n)$ é:

Resolução

Resposta correta: Letra B — 7.

A questão trata de progressão aritmética (PA) e soma de seus termos. Dada uma PA de razão r, a soma dos n primeiros termos é dada por $s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$. O enunciado informa que 168, 220 e 279 são termos consecutivos da sequência das somas ($s_n$), ou seja, $s_k = 168$, $s_{k+1} = 220$ e $s_{k+2} = 279$ para algum k. A diferença entre termos consecutivos de $s_n$ é justamente o termo da PA correspondente: $s_{n+1} - s_n = a_{n+1}$. Assim, $a_{k+1} = 220 - 168 = 52$ e $a_{k+2} = 279 - 220 = 59$. Como a PA é de razão r, $a_{k+2} - a_{k+1} = r$, logo $r = 59 - 52 = 7$. Portanto, a razão da PA é 7.

Comentários por alternativa

A 5.

A alternativa A (5) está errada porque, ao calcular a diferença entre os termos consecutivos da sequência de somas, a razão encontrada é 7, não 5.
B 7.

A alternativa B (7) está correta porque, ao subtrair os termos consecutivos da sequência de somas, obtemos os termos da PA e, ao calcular a diferença entre eles, encontramos a razão r = 7.
C 9.

A alternativa C (9) está errada; 9 não corresponde à diferença entre os termos consecutivos da PA obtidos a partir das somas fornecidas.
D 11.

A alternativa D (11) está incorreta, pois não representa a razão correta calculada a partir dos dados da questão.
E

A alternativa E está em branco ou incompleta, portanto não pode ser considerada correta.

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1. O que é uma progressão aritmética (PA)?: É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão.
2. Como se calcula o n-ésimo termo de uma PA?: O n-ésimo termo é dado por $a_n = a_1 + (n-1)r$, onde $a_1$ é o primeiro termo e r é a razão.
3. Qual a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA?: A soma é $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ ou $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)r]$.
4. Como obter a razão de uma PA conhecendo dois termos consecutivos?: Basta subtrair o termo anterior do posterior: $r = a_{n+1} - a_n$.
5. O que representa a diferença entre termos consecutivos da sequência de somas de uma PA?: A diferença $s_{n+1} - s_n$ é igual ao termo $a_{n+1}$ da PA original.
6. Se conheço três somas consecutivas de uma PA, como encontro a razão?: Calcule as diferenças entre as somas para obter dois termos consecutivos da PA e subtraia-os para achar a razão.
7. Por que a sequência das somas de uma PA não é uma PA?: Porque a diferença entre termos consecutivos da sequência de somas não é constante, mas sim igual aos termos da PA original, que variam conforme a razão.

Questão 56 — Seja $(a_n) = (a_1, a_2, a_3,\ldots)$ uma progressão aritmética de razão $r$ e seja $(s_1, s_2, s_3,\ldots)$ a sequência definida por $s_n = a_1 + \c…

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