O que é uma função composta?

É o resultado da aplicação de uma função sobre o resultado de outra, ou seja, (g \circ f)(x) = g(f(x)).

Como resolver uma inequação do segundo grau?

Primeiro, encontra-se as raízes da equação associada e depois analisa-se o sinal da parábola para determinar os intervalos que satisfazem a inequação.

Como identificar o intervalo onde uma parábola está abaixo do eixo x?

Se o coeficiente de x^{2} for positivo, a parábola é voltada para cima e está abaixo do eixo x entre as raízes.

O que significa substituir f(x) em g(x)?

Significa calcular g(f(x)), trocando toda ocorrência de x em g(x) pela expressão de f(x).

Como contar os números inteiros em um intervalo aberto (a, b)?

Conta-se todos os inteiros maiores que a e menores que b, ou seja, de a+1 até b-1.

Por que é importante analisar o sinal do coeficiente de x^{2} em uma inequação quadrática?

Porque ele determina a concavidade da parábola e, consequentemente, os intervalos onde a função é positiva ou negativa.

O que representa a solução de uma inequação quadrática?

Representa o conjunto de valores de x para os quais a expressão quadrática é menor ou maior que zero, dependendo do sinal da inequação.

Questão 54 — Sejam $f(x) = x - 2$ e $g(x) = x^{2} - 4x$ funções reais. A quantidade de números que satisfazem à inequação $g(f(x)) < 0$ é:

UNICAMP 2025 Questão 54

Fácil

Sejam $f(x) = x - 2$ e $g(x) = x^{2} - 4x$ funções reais. A quantidade de números que satisfazem à inequação $g(f(x)) < 0$ é:

Resolução

Resposta correta: Letra B — 3.

A questão envolve funções compostas e inequações do segundo grau. Primeiro, é preciso calcular a função composta g(f(x)), ou seja, substituir f(x) em g(x). Temos f(x) = x - 2 e g(x) = x^{2} - 4x. Então, g(f(x)) = (x - 2)^{2} - 4(x - 2). Desenvolvendo, obtemos x^{2} - 4x + 4 - 4x + 8 = x^{2} - 8x + 12. A inequação pedida é x^{2} - 8x + 12 < 0. Resolvendo a equação x^{2} - 8x + 12 = 0, encontramos as raízes x = 2 e x = 6. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola é voltada para cima, então a inequação é satisfeita para 2 < x < 6. O número de inteiros nesse intervalo é 3 (3, 4 e 5). Portanto, a alternativa correta é a B.

Comentários por alternativa

A 2.

A alternativa A está errada porque há mais de 2 números inteiros no intervalo que satisfaz a inequação.
B 3.

A alternativa B está correta porque há exatamente 3 números inteiros (3, 4 e 5) que satisfazem 2 < x < 6.
C 4.

A alternativa C está errada pois há apenas 3 números inteiros, e não 4, no intervalo aberto entre 2 e 6.
D 5.

A alternativa D está incorreta porque o intervalo contém menos que 5 números inteiros.
E

A alternativa E está em branco ou incompleta, portanto não pode ser considerada correta.

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1. O que é uma função composta?: É o resultado da aplicação de uma função sobre o resultado de outra, ou seja, (g \circ f)(x) = g(f(x)).
2. Como resolver uma inequação do segundo grau?: Primeiro, encontra-se as raízes da equação associada e depois analisa-se o sinal da parábola para determinar os intervalos que satisfazem a inequação.
3. Como identificar o intervalo onde uma parábola está abaixo do eixo x?: Se o coeficiente de x^{2} for positivo, a parábola é voltada para cima e está abaixo do eixo x entre as raízes.
4. O que significa substituir f(x) em g(x)?: Significa calcular g(f(x)), trocando toda ocorrência de x em g(x) pela expressão de f(x).
5. Como contar os números inteiros em um intervalo aberto (a, b)?: Conta-se todos os inteiros maiores que a e menores que b, ou seja, de a+1 até b-1.
6. Por que é importante analisar o sinal do coeficiente de x^{2} em uma inequação quadrática?: Porque ele determina a concavidade da parábola e, consequentemente, os intervalos onde a função é positiva ou negativa.
7. O que representa a solução de uma inequação quadrática?: Representa o conjunto de valores de x para os quais a expressão quadrática é menor ou maior que zero, dependendo do sinal da inequação.

Questão 54 — Sejam $f(x) = x - 2$ e $g(x) = x^{2} - 4x$ funções reais. A quantidade de números que satisfazem à inequação $g(f(x)) < 0$ é:

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