Como se calcula o volume de um tronco de cone reto?

O volume do tronco de cone é dado por $V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$, onde $h$ é a altura, $R$ o raio maior e $r$ o raio menor.

O que significa dizer que dois cones são semelhantes?

Cones semelhantes têm seus raios e alturas proporcionais, mantendo o mesmo formato, mas tamanhos diferentes.

Como determinar a altura do cone menor removido, sabendo que os cones são semelhantes?

A altura do cone menor é proporcional ao raio: $h_{menor} = h_{maior} \times \frac{r_{menor}}{r_{maior}}$.

Qual a fórmula do volume de um cilindro reto?

O volume do cilindro é $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ a altura.

Como converter volume em massa usando densidade?

Multiplica-se o volume do objeto pela densidade do material: $m = V \times d$.

Por que é necessário subtrair o volume do cilindro perfurado do tronco de cone?

Porque o cilindro representa a parte vazada da escultura, que não contribui para a massa final.

Por que se utiliza $\pi = 3$ em algumas questões de vestibular?

Para facilitar os cálculos e evitar arredondamentos complexos, quando a precisão extra não é essencial para o resultado.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 136

ENEM 2023 Questão 136

Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.

Carregando imagem...

Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base. O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume. Utilize 3 como aproximação para $\pi$.

Qual é a massa, em grama, dessa escultura?

Resolução

A questão envolve cálculo de volumes de sólidos geométricos (cone, tronco de cone e cilindro) e aplicação de densidade para determinar a massa de uma escultura. O artista começa com um cone de altura 36 cm e diâmetro da base 18 cm. Em seguida, remove um cone menor (diâmetro 6 cm, mesma altura, pois os cones são semelhantes e compartilham o vértice e o eixo), formando um tronco de cone. Depois, perfura esse tronco com um cilindro de diâmetro 6 cm (mesmo eixo dos cones). Para resolver, é necessário: 1) calcular o volume do cone maior; 2) calcular o volume do cone menor (que foi removido); 3) subtrair para obter o volume do tronco de cone; 4) calcular o volume do cilindro perfurado e subtrair do tronco; 5) multiplicar o volume final pela densidade da madeira (0,6 g/cm³). Usando $\pi = 3$, temos: 1. Volume do cone maior: $V_1 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 h = \frac{1}{3} \times 3 \times 9^2 \times 36 = 972 \times 3 = 2916$ cm³. 2. Volume do cone menor: $V_2 = \frac{1}{3}\pi r_2^2 h = \frac{1}{3} \times 3 \times 3^2 \times 36 = 27 \times 36 = 972$ cm³. 3. Volume do tronco: $V_{tronco} = V_1 - V_2 = 2916 - 972 = 1944$ cm³. 4. Volume do cilindro perfurado: $V_{cil} = \pi r_{cil}^2 h = 3 \times 3^2 \times 36 = 3 \times 9 \times 36 = 972$ cm³. 5. Volume final: $V_{final} = V_{tronco} - V_{cil} = 1944 - 972 = 972$ cm³. 6. Massa: $m = 972 \times 0,6 = 583,2$ g. No entanto, ao revisar os cálculos, percebemos que o volume do cone maior está correto, mas o volume do cone menor deve ser $\frac{1}{3} \times 3 \times 3^2 \times 36 = 1 \times 9 \times 36 = 324$ cm³, pois $3^2 = 9$. Assim, $V_2 = 324$ cm³. Portanto: 1. $V_1 = 2916$ cm³ 2. $V_2 = 324$ cm³ 3. $V_{tronco} = 2916 - 324 = 2592$ cm³ 4. $V_{cil} = 972$ cm³ 5. $V_{final} = 2592 - 972 = 1620$ cm³ 6. $m = 1620 \times 0,6 = 972$ g No entanto, a alternativa correta é 1296 g. O erro está no cálculo do volume do tronco de cone. O volume do tronco de cone é dado por: $$V_{tronco} = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$$ Onde $R = 9$ cm, $r = 3$ cm, $h = 36$ cm. $V_{tronco} = \frac{1}{3} \times 3 \times 36 \times (9^2 + 9 \times 3 + 3^2) = 36 \times (81 + 27 + 9) = 36 \times 117 = 4212$ cm³ Agora, subtraindo o volume do cilindro: $V_{cil} = 3 \times 9 \times 36 = 972$ cm³ $V_{final} = 4212 - 972 = 3240$ cm³ Massa: $3240 \times 0,6 = 1944$ g Porém, a alternativa correta é 1296 g. Observando, o erro está na altura do tronco de cone: o cone menor removido tem altura proporcional ao raio, pois os cones são semelhantes. Se o cone menor tem raio 3 cm e o maior 9 cm, a altura do cone menor é: $h_{menor} = 36 \times \frac{3}{9} = 12$ cm Logo, a altura do tronco é $36 - 12 = 24$ cm Agora sim: $V_{tronco} = \frac{1}{3} \times 3 \times 24 \times (9^2 + 9 \times 3 + 3^2) = 24 \times (81 + 27 + 9) = 24 \times 117 = 2808$ cm³ $V_{cil} = 3 \times 9 \times 24 = 648$ cm³ $V_{final} = 2808 - 648 = 2160$ cm³ Massa: $2160 \times 0,6 = 1296$ g Portanto, a alternativa correta é a B.

Comentários por alternativa

A 1.198,8

A alternativa A está incorreta porque resulta de erro no cálculo dos volumes ou da densidade, levando a uma massa subestimada.
B 1.296,0

A alternativa B está correta, pois considera corretamente a altura do tronco de cone (24 cm), os volumes envolvidos e a densidade, resultando na massa de 1296 g.
C 1.360,8

A alternativa C está errada, provavelmente por erro na aplicação da fórmula do volume do tronco de cone ou na subtração do volume do cilindro.
D 4.665,6

A alternativa D está incorreta, pois superestima o volume da escultura, talvez por não descontar corretamente os volumes removidos.
E 4.860,0

A alternativa E está errada, pois apresenta um valor muito acima do correto, indicando erro grosseiro no cálculo dos volumes ou na aplicação da densidade.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7

1. Como se calcula o volume de um tronco de cone reto?: O volume do tronco de cone é dado por $V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$, onde $h$ é a altura, $R$ o raio maior e $r$ o raio menor.
2. O que significa dizer que dois cones são semelhantes?: Cones semelhantes têm seus raios e alturas proporcionais, mantendo o mesmo formato, mas tamanhos diferentes.
3. Como determinar a altura do cone menor removido, sabendo que os cones são semelhantes?: A altura do cone menor é proporcional ao raio: $h_{menor} = h_{maior} \times \frac{r_{menor}}{r_{maior}}$.
4. Qual a fórmula do volume de um cilindro reto?: O volume do cilindro é $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ a altura.
5. Como converter volume em massa usando densidade?: Multiplica-se o volume do objeto pela densidade do material: $m = V \times d$.
6. Por que é necessário subtrair o volume do cilindro perfurado do tronco de cone?: Porque o cilindro representa a parte vazada da escultura, que não contribui para a massa final.
7. Por que se utiliza $\pi = 3$ em algumas questões de vestibular?: Para facilitar os cálculos e evitar arredondamentos complexos, quando a precisão extra não é essencial para o resultado.