Questão 136 — Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 cm de altura e…

A questão envolve cálculo de volumes de sólidos geométricos (cone, tronco de cone e cilindro) e aplicação de densidade para determinar a massa de uma escultura. O artista começa com um cone de altura 36 cm e diâmetro da base 18 cm. Em seguida, remove um cone menor (diâmetro 6 cm, mesma altura, pois os cones são semelhantes e compartilham o vértice e o eixo), formando um tronco de cone. Depois, perfura esse tronco com um cilindro de diâmetro 6 cm (mesmo eixo dos cones). Para resolver, é necessário: 1) calcular o volume do cone maior; 2) calcular o volume do cone menor (que foi removido); 3) subtrair para obter o volume do tronco de cone; 4) calcular o volume do cilindro perfurado e subtrair do tronco; 5) multiplicar o volume final pela densidade da madeira (0,6 g/cm³). Usando $\pi = 3$, temos: 1. Volume do cone maior: $V_1 = \frac{1}{3}\pi r_1^2 h = \frac{1}{3} \times 3 \times 9^2 \times 36 = 972 \times 3 = 2916$ cm³. 2. Volume do cone menor: $V_2 = \frac{1}{3}\pi r_2^2 h = \frac{1}{3} \times 3 \times 3^2 \times 36 = 27 \times 36 = 972$ cm³. 3. Volume do tronco: $V_{tronco} = V_1 - V_2 = 2916 - 972 = 1944$ cm³. 4. Volume do cilindro perfurado: $V_{cil} = \pi r_{cil}^2 h = 3 \times 3^2 \times 36 = 3 \times 9 \times 36 = 972$ cm³. 5. Volume final: $V_{final} = V_{tronco} - V_{cil} = 1944 - 972 = 972$ cm³. 6. Massa: $m = 972 \times 0,6 = 583,2$ g. No entanto, ao revisar os cálculos, percebemos que o volume do cone maior está correto, mas o volume do cone menor deve ser $\frac{1}{3} \times 3 \times 3^2 \times 36 = 1 \times 9 \times 36 = 324$ cm³, pois $3^2 = 9$. Assim, $V_2 = 324$ cm³. Portanto: 1. $V_1 = 2916$ cm³ 2. $V_2 = 324$ cm³ 3. $V_{tronco} = 2916 - 324 = 2592$ cm³ 4. $V_{cil} = 972$ cm³ 5. $V_{final} = 2592 - 972 = 1620$ cm³ 6. $m = 1620 \times 0,6 = 972$ g No entanto, a alternativa correta é 1296 g. O erro está no cálculo do volume do tronco de cone. O volume do tronco de cone é dado por: $$V_{tronco} = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$$ Onde $R = 9$ cm, $r = 3$ cm, $h = 36$ cm. $V_{tronco} = \frac{1}{3} \times 3 \times 36 \times (9^2 + 9 \times 3 + 3^2) = 36 \times (81 + 27 + 9) = 36 \times 117 = 4212$ cm³ Agora, subtraindo o volume do cilindro: $V_{cil} = 3 \times 9 \times 36 = 972$ cm³ $V_{final} = 4212 - 972 = 3240$ cm³ Massa: $3240 \times 0,6 = 1944$ g Porém, a alternativa correta é 1296 g. Observando, o erro está na altura do tronco de cone: o cone menor removido tem altura proporcional ao raio, pois os cones são semelhantes. Se o cone menor tem raio 3 cm e o maior 9 cm, a altura do cone menor é: $h_{menor} = 36 \times \frac{3}{9} = 12$ cm Logo, a altura do tronco é $36 - 12 = 24$ cm Agora sim: $V_{tronco} = \frac{1}{3} \times 3 \times 24 \times (9^2 + 9 \times 3 + 3^2) = 24 \times (81 + 27 + 9) = 24 \times 117 = 2808$ cm³ $V_{cil} = 3 \times 9 \times 24 = 648$ cm³ $V_{final} = 2808 - 648 = 2160$ cm³ Massa: $2160 \times 0,6 = 1296$ g Portanto, a alternativa correta é a B.