Como é a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano?

A equação geral de uma circunferência é $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, onde (a,b) é o centro e r é o raio.

Como identificar os pontos que pertencem a uma reta ou circunferência dada sua equação?

Substitui-se as coordenadas dos pontos na equação; se a igualdade for satisfeita, o ponto pertence à figura.

Qual a diferença entre a equação de uma reta vertical e uma horizontal no plano cartesiano?

Reta vertical: x = k (todos os pontos têm x fixo); reta horizontal: y = k (todos os pontos têm y fixo).

Como calcular o número de pontos atingidos por uma equação no contexto do jogo?

Verifica-se quais pontos dados satisfazem a equação, excluindo a origem, e soma-se a pontuação conforme o tipo de equação.

Por que a circunferência pode passar por mais de dois pontos distintos além da origem?

Porque uma circunferência pode conter até três pontos não colineares, além da origem, dependendo de seu centro e raio.

Qual é o critério para maximizar a pontuação neste jogo?

Escolher a equação que atinge o maior número de pontos diferentes da origem, priorizando circunferências, pois cada ponto vale 2 pontos.

O que significa um ponto pertencer a uma circunferência de equação $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$?

Significa que a distância entre o ponto e o centro (a,b) é igual ao raio r.

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Questão 138

ENEM 2018 Questão 138

Um jogo pedagógico utiliza-se de uma interface algébrico-geométrica do seguinte modo: os alunos devem eliminar os pontos do plano cartesiano dando “tiros”, seguindo trajetórias que devem passar pelos pontos escolhidos. Para dar os tiros, o aluno deve escrever em uma janela do programa a equação cartesiana de uma reta ou de uma circunferência que passa pelos pontos e pela origem do sistema de coordenadas. Se o tiro for dado por meio da equação da circunferência, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 2 pontos. Se o tiro for dado por meio da equação de uma reta, cada ponto diferente da origem que for atingido vale 1 ponto. Em uma situação de jogo, ainda restam os seguintes pontos para serem eliminados: A(0 ; 4), 6(4 ; 4), C(4 ; 0), D(2 ; 2) e E(0; 2).

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Passando pelo ponto A, qual equação forneceria a maior pontuação?

Resolução

A questão aborda conceitos de geometria analítica, especificamente equações de retas e circunferências no plano cartesiano, além de análise combinatória para maximizar a pontuação em um jogo. O aluno deve identificar, entre as equações propostas, qual delas, passando pelo ponto A(0,4), atinge o maior número de pontos diferentes da origem, considerando as regras de pontuação: 2 pontos para cada ponto atingido por uma circunferência (exceto a origem) e 1 ponto para cada ponto atingido por uma reta (exceto a origem). O passo a passo envolve: (1) identificar quais pontos cada equação atinge, (2) verificar se passam pela origem e por A, (3) contar quantos pontos são atingidos além da origem, (4) aplicar a regra de pontuação, e (5) comparar os resultados. A alternativa E é correta porque a circunferência dada atinge três pontos além da origem (A, D e E), totalizando 6 pontos (3×2), enquanto as demais atingem menos pontos ou não passam pela origem e A simultaneamente.

Comentários por alternativa

A X = 0

A alternativa A (x = 0) representa a reta vertical que passa pelos pontos com x = 0, ou seja, A(0,4) e E(0,2), além da origem. Como é uma reta, cada ponto diferente da origem vale 1 ponto, totalizando 2 pontos. Não é a maior pontuação possível.
B Y = 0

A alternativa B (y = 0) representa a reta horizontal que passa pelos pontos com y = 0, ou seja, C(4,0) e a origem. Não passa por A(0,4), portanto não atende ao comando da questão.
C X^2 + y^2 =16

A alternativa C (x^2 + y^2 = 16) é a circunferência de centro na origem e raio 4. Passa por A(0,4) e C(4,0), além da origem. Cada ponto diferente da origem vale 2 pontos, totalizando 4 pontos (A e C). Não é a maior pontuação.
D X^2 + (y-2)^2 = 4

A alternativa D (x^2 + (y-2)^2 = 4) é uma circunferência de centro (0,2) e raio 2. Passa por A(0,4) e E(0,2), além da origem. Atinge dois pontos diferentes da origem, totalizando 4 pontos. Não é a maior pontuação.
E (x -2 )^2 + ( y - 2 )^2 = 8

A alternativa E ((x-2)^2 + (y-2)^2 = 8) é uma circunferência de centro (2,2) e raio 2$\sqrt{2}.$ Passa por A(0,4), D(2,2) e E(0,2), além da origem. Como é uma circunferência, cada ponto diferente da origem vale 2 pontos, totalizando 6 pontos (A, D e E), que é a maior pontuação possível.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. Como é a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano?: A equação geral de uma circunferência é $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, onde (a,b) é o centro e r é o raio.
2. Como identificar os pontos que pertencem a uma reta ou circunferência dada sua equação?: Substitui-se as coordenadas dos pontos na equação; se a igualdade for satisfeita, o ponto pertence à figura.
3. Qual a diferença entre a equação de uma reta vertical e uma horizontal no plano cartesiano?: Reta vertical: x = k (todos os pontos têm x fixo); reta horizontal: y = k (todos os pontos têm y fixo).
4. Como calcular o número de pontos atingidos por uma equação no contexto do jogo?: Verifica-se quais pontos dados satisfazem a equação, excluindo a origem, e soma-se a pontuação conforme o tipo de equação.
5. Por que a circunferência pode passar por mais de dois pontos distintos além da origem?: Porque uma circunferência pode conter até três pontos não colineares, além da origem, dependendo de seu centro e raio.
6. Qual é o critério para maximizar a pontuação neste jogo?: Escolher a equação que atinge o maior número de pontos diferentes da origem, priorizando circunferências, pois cada ponto vale 2 pontos.
7. O que significa um ponto pertencer a uma circunferência de equação $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$?: Significa que a distância entre o ponto e o centro (a,b) é igual ao raio r.