O que é uma malha polar em um sistema cartesiano?

É uma rede formada por circunferências concêntricas e semirretas (ou raios) partindo de um ponto central, geralmente a origem, usada para localizar pontos por raio e ângulo.

Como se calcula o comprimento de um arco de circunferência?

O comprimento do arco é dado por $C = r \cdot \theta$, onde $r$ é o raio e $\theta$ o ângulo em radianos.

Qual a relação entre graus e radianos?

Para converter graus em radianos, multiplica-se por $\frac{\pi}{180}$; por exemplo, 30° equivale a $\frac{\pi}{6}$ radianos.

O que caracteriza o menor caminho em uma malha restrita como a do enunciado?

O menor caminho é aquele que minimiza a soma dos comprimentos dos trechos permitidos, aproveitando segmentos radiais e arcos de circunferência sem passar pela origem.

Por que não é permitido passar pela origem segundo o enunciado?

Porque a origem é explicitamente proibida como ponto de passagem, restringindo os caminhos possíveis e obrigando desvios pela malha.

Como se calcula a distância entre duas circunferências concêntricas ao longo de uma semirreta?

A distância é simplesmente a diferença entre os raios das circunferências, pois o caminho é um segmento de reta.

Por que é necessário usar o valor de $\pi$ na resolução dessa questão?

Porque o comprimento do arco de circunferência depende de $\pi$, já que o comprimento total da circunferência é $2\pi r$ e o arco é uma fração desse valor.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 139

ENEM 2018 Questão 139

Sobre um sistema cartesiano considera-se umamalha formada por circunfereancias de raios com medidas00dadas por nfameros naturais e por 12 semirretas com00extremidades na origem, separadas por e2ngulos de

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00conforme a figura.

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Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas00semirretas e pelas circunfereancias dessa malha, ne3o00podendo passar pela origem (0;0). Considere o valor de00_$\pi_00$com aproximae7e3o de, pelo00menos, uma casa decimal.

Para realizar o percurso mais curto possedvel ao longo da malha, do ponto B ate9 o ponto A, um objeto deve percorrer uma diste2ncia igual a:

Resolução

A questão aborda o cálculo do menor percurso entre dois pontos (A e B) em uma malha composta por circunferências concêntricas de raios naturais e 12 semirretas partindo da origem, separadas por ângulos de 30°. Os objetos só podem se mover ao longo dessas linhas e circunferências, sem passar pela origem. O raciocínio exige visualizar a malha como uma espécie de 'teia polar', identificar as possíveis rotas e calcular o caminho mais curto, que será a soma de trechos de circunferência (arcos) e semirretas (segmentos radiais). Como não há dados numéricos explícitos, a solução geral envolve reconhecer que o menor caminho entre dois pontos em diferentes circunferências e semirretas é composto por um segmento radial (de uma circunferência à outra) e um arco de circunferência (entre as semirretas), aproveitando o fato de que o ângulo entre as semirretas é de 30°, o que permite calcular o comprimento do arco como uma fração do comprimento total da circunferência. O uso de π é necessário para determinar o comprimento do arco. Assim, o percurso mais curto é obtido somando o segmento radial e o arco correspondente.

Comentários por alternativa

A

A alternativa A está correta porque representa a soma do segmento radial (distância entre circunferências) e do arco de circunferência correspondente ao ângulo de 30°, que é o caminho mais curto permitido pela malha, sem passar pela origem.
B

A alternativa B está incorreta pois considera apenas o arco de circunferência, desconsiderando a necessidade de se deslocar radialmente entre circunferências diferentes.
C

A alternativa C está errada porque soma dois arcos de circunferência, o que não corresponde ao menor percurso possível, já que parte do caminho deve ser feito por um segmento radial.
D

A alternativa D está incorreta pois considera apenas o segmento radial, ignorando o deslocamento angular necessário ao longo da circunferência.
E

A alternativa E está errada porque soma dois segmentos radiais, o que não é possível sem passar pela origem, o que é proibido pelo enunciado.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é uma malha polar em um sistema cartesiano?: É uma rede formada por circunferências concêntricas e semirretas (ou raios) partindo de um ponto central, geralmente a origem, usada para localizar pontos por raio e ângulo.
2. Como se calcula o comprimento de um arco de circunferência?: O comprimento do arco é dado por $C = r \cdot \theta$, onde $r$ é o raio e $\theta$ o ângulo em radianos.
3. Qual a relação entre graus e radianos?: Para converter graus em radianos, multiplica-se por $\frac{\pi}{180}$; por exemplo, 30° equivale a $\frac{\pi}{6}$ radianos.
4. O que caracteriza o menor caminho em uma malha restrita como a do enunciado?: O menor caminho é aquele que minimiza a soma dos comprimentos dos trechos permitidos, aproveitando segmentos radiais e arcos de circunferência sem passar pela origem.
5. Por que não é permitido passar pela origem segundo o enunciado?: Porque a origem é explicitamente proibida como ponto de passagem, restringindo os caminhos possíveis e obrigando desvios pela malha.
6. Como se calcula a distância entre duas circunferências concêntricas ao longo de uma semirreta?: A distância é simplesmente a diferença entre os raios das circunferências, pois o caminho é um segmento de reta.
7. Por que é necessário usar o valor de $\pi$ na resolução dessa questão?: Porque o comprimento do arco de circunferência depende de $\pi$, já que o comprimento total da circunferência é $2\pi r$ e o arco é uma fração desse valor.