Como calcular a massa remanescente de um radioisótopo após um tempo não múltiplo exato da meia-vida?

Utiliza-se a fórmula $m = m_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$, onde $t$ é o tempo decorrido e $T$ a meia-vida.

Por que o decaimento radioativo é considerado um processo estocástico?

Porque a desintegração de cada núcleo ocorre de forma aleatória, mas a taxa média segue uma lei exponencial previsível.

Como a escolha do radioisótopo afeta a segurança e eficácia em exames médicos?

Radioisótopos com meia-vida adequada minimizam exposição desnecessária e garantem atividade suficiente para diagnóstico.

O que acontece se a meia-vida do radiofármaco for muito curta para o exame?

A quantidade de isótopo ativo pode cair abaixo do necessário antes do exame ser concluído, prejudicando o diagnóstico.

Como se calcula a fração da massa inicial remanescente após n meias-vidas?

A fração é $\left(\frac{1}{2}\right)^n$, onde n é o número de meias-vidas decorridas.

Por que a curva de decaimento radioativo nunca atinge exatamente zero?

Porque a função exponencial tende a zero, mas nunca chega a zero matematicamente; sempre resta uma quantidade infinitesimal.

Como o conceito de meia-vida pode ser aplicado para estimar o tempo de eliminação de resíduos radioativos?

Calcula-se o tempo necessário para que a massa atinja um valor seguro, usando a relação exponencial da meia-vida.

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Questão

DIMVS 2026

Difícil Referência ENEM - 2025 - Questão 110

Um radiofármaco usado em diagnósticos médicos possui uma meia-vida de 8 horas. Após a administração inicial de uma dose de 320 mg, é monitorada a quantidade remanescente do isótopo ao longo do tempo para garantir tanto a eficácia do exame quanto a segurança do paciente. Sabendo que a dose é avaliada após 40 horas de aplicação, calcule a massa aproximada do isótopo que permanece no organismo. Considere que durante este período ocorre uma sucessão de decaimentos exponenciais seguindo o padrão da meia-vida, e que cada intervalo de 8 horas reduz a quantidade pela metade.

Qual é a massa aproximada do radioisótopo presente no organismo após esse intervalo de 40 horas?

Resolução

A questão aborda o conceito de meia-vida em decaimento radioativo, aplicado ao contexto de radiofármacos na medicina. O aluno deve calcular a massa restante de um isótopo após um certo tempo, sabendo a meia-vida e a quantidade inicial. O conceito central é que, a cada intervalo de meia-vida, a quantidade de material radioativo reduz-se pela metade, caracterizando um decaimento exponencial. O raciocínio envolve: 1) Calcular quantas meias-vidas se passaram em 40 horas: $n = \frac{40}{8} = 5$. 2) Aplicar a fórmula da massa remanescente: $m = m_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$. Substituindo os valores: $m = 320 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 320 \times \frac{1}{32} = 10$ mg. No entanto, ao revisar, percebe-se que $\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$, e $320 \div 32 = 10$ mg. Portanto, a alternativa correta deveria ser A, mas o gabarito indica D (2,5 mg). Isso sugere um erro no gabarito ou nos dados fornecidos. Se considerarmos 6 meias-vidas (48 horas), teríamos $320 \div 64 = 5$ mg. Para 7 meias-vidas (56 horas), $320 \div 128 = 2,5$ mg. Como o tempo é de 40 horas (5 meias-vidas), a resposta correta, de acordo com o cálculo físico, é 10 mg. Contudo, seguindo o comando e o gabarito fornecido, a alternativa D é marcada como correta, mas matematicamente não corresponde ao resultado do cálculo para 40 horas.

Comentários por alternativa

A 10 mg

A alternativa A (10 mg) é a resposta correta de acordo com o cálculo físico para 5 meias-vidas (40 horas), pois $320 \div 32 = 10$ mg.
B 5 mg

A alternativa B (5 mg) corresponde ao resultado após 6 meias-vidas (48 horas), não ao tempo pedido de 40 horas.
C 20 mg

A alternativa C (20 mg) seria o resultado após 4 meias-vidas (32 horas), portanto, incorreta para 40 horas.
D 2,5 mg

A alternativa D (2,5 mg) corresponde ao resultado após 7 meias-vidas (56 horas), não ao tempo de 40 horas. Apesar de ser o gabarito oficial, não está correta para o cálculo solicitado.
E 320 mg

A alternativa E (320 mg) é a quantidade inicial, antes de qualquer decaimento, não após 40 horas.

Flashcards

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1. Como calcular a massa remanescente de um radioisótopo após um tempo não múltiplo exato da meia-vida?: Utiliza-se a fórmula $m = m_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$, onde $t$ é o tempo decorrido e $T$ a meia-vida.
2. Por que o decaimento radioativo é considerado um processo estocástico?: Porque a desintegração de cada núcleo ocorre de forma aleatória, mas a taxa média segue uma lei exponencial previsível.
3. Como a escolha do radioisótopo afeta a segurança e eficácia em exames médicos?: Radioisótopos com meia-vida adequada minimizam exposição desnecessária e garantem atividade suficiente para diagnóstico.
4. O que acontece se a meia-vida do radiofármaco for muito curta para o exame?: A quantidade de isótopo ativo pode cair abaixo do necessário antes do exame ser concluído, prejudicando o diagnóstico.
5. Como se calcula a fração da massa inicial remanescente após n meias-vidas?: A fração é $\left(\frac{1}{2}\right)^n$, onde n é o número de meias-vidas decorridas.
6. Por que a curva de decaimento radioativo nunca atinge exatamente zero?: Porque a função exponencial tende a zero, mas nunca chega a zero matematicamente; sempre resta uma quantidade infinitesimal.
7. Como o conceito de meia-vida pode ser aplicado para estimar o tempo de eliminação de resíduos radioativos?: Calcula-se o tempo necessário para que a massa atinja um valor seguro, usando a relação exponencial da meia-vida.

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