O que diz o princípio dos vasos comunicantes?

Em vasos comunicantes, líquidos em equilíbrio atingem o mesmo nível, independentemente da forma dos recipientes.

Como se calcula o volume de um cilindro?

O volume de um cilindro é dado por $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura.

Por que a altura final da água é igual em todos os reservatórios conectados?

Porque estão conectados próximos à base, o que iguala a pressão no ponto de conexão, igualando as alturas pelo equilíbrio hidrostático.

Como se calcula a área da base de um reservatório cilíndrico?

A área da base é $A = \pi r^2$, onde $r$ é o raio do cilindro.

O que acontece com o volume total de água ao redistribuí-lo entre reservatórios conectados?

O volume total de água se conserva, apenas redistribuindo-se entre os recipientes até atingir o equilíbrio.

Por que é necessário somar as áreas das bases de todos os reservatórios para calcular a altura final?

Porque a água se distribui igualmente em altura, então o volume total é dividido pela soma das áreas das bases para encontrar a altura comum.

Se um dos reservatórios auxiliares tivesse altura menor que a final calculada, o que aconteceria?

Esse reservatório transbordaria, pois não conseguiria conter a altura de água igual aos demais.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 175

ENEM 2019 Questão 175

Uma construtora pretende conectar um reservatório central (Rc) em formato de um cilindro, com raio interno igual a 2 m e altura interna igual a 3,30 m, a quatro reservatórios cilíndricos auxiliares (R1, R2, R3 e R4), os quais possuem raios internos e alturas internas medindo 1,5 m.

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As ligações entre o reservatório central e os auxiliares são feitas por canos cilíndricos com 0,10 m de diâmetro interno e 20 m de comprimento, conectados próximos às bases de cada reservatório. Na conexão de cada um desses canos com o reservatório central ha registros que liberam ou interrompem o fluxo de água. No momento em que o reservatório central está cheio e os auxiliares estão vazios, abrem-se os quatro registros e, após algum tempo, as alturas das colunas de água nos reservatórios se igualam, assim que cessa o fluxo de água entre eles, pelo princípio dos vasos comunicantes.

A medida, em metro, das alturas das colunas de água nos reservatórios auxiliares, após cessar o fluxo de água entre eles, é

Resolução

Esta questão envolve o princípio dos vasos comunicantes e conservação de volume em sistemas de reservatórios cilíndricos conectados. Inicialmente, o reservatório central (Rc) está totalmente cheio e os quatro auxiliares (R1, R2, R3, R4) estão vazios. Ao abrir os registros, a água se distribui até que as alturas das colunas de água em todos os reservatórios se igualem. O conceito central é que, ao final, todos os reservatórios terão a mesma altura de água, pois estão conectados próximos à base (nível zero de referência). Para resolver, calcula-se o volume total de água inicialmente no Rc, soma-se ao volume zero dos auxiliares, e divide-se esse volume total pela soma das áreas das bases dos cinco reservatórios, obtendo a altura final comum. As áreas das bases são calculadas usando $A = \pi r^2$ para cada cilindro. O volume inicial do Rc é $V_{Rc} = \pi \times 2^2 \times 3,3 = 13,2\pi$ m³. Cada auxiliar tem $V_{aux} = \pi \times 1,5^2 \times 0 = 0$ m³ (pois estão vazios). A área total das bases é $A_{tot} = \pi \times 2^2 + 4 \times (\pi \times 1,5^2) = 4\pi + 4 \times 2,25\pi = 4\pi + 9\pi = 13\pi$ m². A altura final $h$ é $h = \frac{13,2\pi}{13\pi} = 1,015$ m \approx 1,00$ m. Portanto, a alternativa correta é a D.

Comentários por alternativa

A 1,44.

A alternativa A (1,44) superestima a altura final, provavelmente desconsiderando que a água deve ser dividida entre cinco reservatórios, não apenas os quatro auxiliares.
B 1,16

A alternativa B (1,16) está incorreta, pois resulta de um erro no cálculo da área total das bases ou do volume total de água.
C 1,10.

A alternativa C (1,10) está errada, pois não corresponde à divisão correta do volume total pelo somatório das áreas das bases.
D 1,00.

A alternativa D (1,00) está correta porque resulta do cálculo preciso: o volume total de água do reservatório central é distribuído igualmente entre os cinco reservatórios, levando à altura final de 1,00 m em cada um.
E 0,95.

A alternativa E (0,95) subestima a altura final, provavelmente por erro de arredondamento ou cálculo incorreto das áreas ou volumes envolvidos.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que diz o princípio dos vasos comunicantes?: Em vasos comunicantes, líquidos em equilíbrio atingem o mesmo nível, independentemente da forma dos recipientes.
2. Como se calcula o volume de um cilindro?: O volume de um cilindro é dado por $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura.
3. Por que a altura final da água é igual em todos os reservatórios conectados?: Porque estão conectados próximos à base, o que iguala a pressão no ponto de conexão, igualando as alturas pelo equilíbrio hidrostático.
4. Como se calcula a área da base de um reservatório cilíndrico?: A área da base é $A = \pi r^2$, onde $r$ é o raio do cilindro.
5. O que acontece com o volume total de água ao redistribuí-lo entre reservatórios conectados?: O volume total de água se conserva, apenas redistribuindo-se entre os recipientes até atingir o equilíbrio.
6. Por que é necessário somar as áreas das bases de todos os reservatórios para calcular a altura final?: Porque a água se distribui igualmente em altura, então o volume total é dividido pela soma das áreas das bases para encontrar a altura comum.
7. Se um dos reservatórios auxiliares tivesse altura menor que a final calculada, o que aconteceria?: Esse reservatório transbordaria, pois não conseguiria conter a altura de água igual aos demais.