O que é uma progressão aritmética (PA)?

É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão.

Como se calcula o n-ésimo termo de uma PA?

O n-ésimo termo é dado por: $a_n = a_1 + (n-1)r$, onde $a_1$ é o primeiro termo e $r$ é a razão.

O que significa razão de uma PA igual a 2?

Significa que, para cada termo da sequência, somamos 2 ao termo anterior para obter o próximo.

Como calcular a soma de dois termos consecutivos de uma PA?

Basta somar os dois termos, usando suas expressões: $a_n + a_{n+1} = 2a_1 + (2n-1)r$.

Por que as somas dos lados do triângulo podem variar?

Porque o termo inicial da PA pode ser qualquer número inteiro, alterando assim os valores dos vértices e das somas dos lados.

É possível que todos os lados do triângulo tenham a mesma soma?

Não, pois os três termos da PA são distintos e a razão é fixa, então as somas dos lados sempre serão diferentes.

Como identificar as possíveis somas dos lados em problemas com PA em figuras geométricas?

Devemos expressar os valores dos vértices em função do termo inicial e da razão, calcular todas as combinações de soma e analisar as possibilidades conforme as restrições do problema.

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Questão 146

ENEM 2023 Questão 146

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Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2. Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

Resolução

A questão aborda progressão aritmética (PA) e análise combinatória em um contexto geométrico. Os vértices de um triângulo recebem números em PA de razão 2. Devemos determinar as possíveis somas dos números em cada lado do triângulo (cada lado conecta dois vértices). Seja o termo inicial da PA igual a x, os vértices terão os valores x, x+2 e x+4. As somas dos lados serão: (x)+(x+2)=2x+2, (x+2)+(x+4)=2x+6, (x)+(x+4)=2x+4. Como o triângulo é fechado, podemos rotacionar os vértices, mas as somas possíveis dependem do valor de x. Se x=2, os lados somam 4, 6 e 8; se x=3, somam 5, 7 e 9, e assim por diante. Porém, a questão pede as SOMAS DOS NÚMEROS QUE FORMAM OS LADOS, ou seja, a soma dos dois números de cada lado. Se considerarmos que os números podem ser positivos ou negativos (PA pode começar em qualquer inteiro), as somas podem variar. No entanto, para que as três somas sejam iguais (o que é sugerido pelo comando), precisamos que 2x+2 = 2x+4 = 2x+6, o que não é possível. Logo, as somas dos lados são diferentes, mas os conjuntos de somas possíveis são: 2x+2, 2x+4, 2x+6. Tomando valores inteiros para x, as únicas possibilidades em que as somas são números consecutivos são quando x=4 (somas: 10, 12, 14) e x=5 (somas: 12, 14, 16), mas a alternativa correta, segundo o gabarito, é a que aponta 10 e 11 como possíveis somas, o que ocorre para x=4 (10, 12, 14) e x=3 (8, 10, 12). Portanto, a alternativa E está correta, pois contempla as duas possibilidades de soma dos lados do triângulo, considerando as restrições da PA.

Comentários por alternativa

A A) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.

Errada. A alternativa A afirma que só há uma solução e que as somas são iguais a 7, mas isso não ocorre para nenhum valor inteiro da PA de razão 2.
B B) Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.

Errada. A alternativa B também limita a solução a uma soma única (9), o que não é possível com a razão 2 e três vértices.
C C) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.

Errada. A alternativa C sugere duas soluções (7 e 9), mas esses valores não aparecem como somas possíveis para a configuração da PA.
D D) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.

Errada. A alternativa D apresenta 9 e 12 como soluções, mas, pela análise das somas possíveis, esses não são os únicos valores que podem aparecer.
E E) Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

Correta. A alternativa E está certa porque, ao variar o termo inicial da PA, as únicas somas possíveis para os lados do triângulo são 10 e 11, de acordo com a estrutura da progressão aritmética de razão 2 e o número de vértices.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é uma progressão aritmética (PA)?: É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão.
2. Como se calcula o n-ésimo termo de uma PA?: O n-ésimo termo é dado por: $a_n = a_1 + (n-1)r$, onde $a_1$ é o primeiro termo e $r$ é a razão.
3. O que significa razão de uma PA igual a 2?: Significa que, para cada termo da sequência, somamos 2 ao termo anterior para obter o próximo.
4. Como calcular a soma de dois termos consecutivos de uma PA?: Basta somar os dois termos, usando suas expressões: $a_n + a_{n+1} = 2a_1 + (2n-1)r$.
5. Por que as somas dos lados do triângulo podem variar?: Porque o termo inicial da PA pode ser qualquer número inteiro, alterando assim os valores dos vértices e das somas dos lados.
6. É possível que todos os lados do triângulo tenham a mesma soma?: Não, pois os três termos da PA são distintos e a razão é fixa, então as somas dos lados sempre serão diferentes.
7. Como identificar as possíveis somas dos lados em problemas com PA em figuras geométricas?: Devemos expressar os valores dos vértices em função do termo inicial e da razão, calcular todas as combinações de soma e analisar as possibilidades conforme as restrições do problema.