O que é uma tangente a um círculo?

É uma reta que toca o círculo em exatamente um ponto, formando um ângulo de 90° com o raio nesse ponto.

Como se calcula a área de um anel circular (região entre dois círculos concêntricos)?

Subtrai-se a área do círculo menor da área do maior: $A = \pi(R^2 - r^2)$.

Qual a relação entre o segmento tangente e os raios de círculos concêntricos?

Se a tangente tem comprimento 2a, então $R^2 = r^2 + a^2$, onde R é o raio maior e r o menor.

O que representa o segmento AB na questão?

AB é uma corda do círculo maior tangente ao círculo menor, com comprimento 16 m.

Como determinar a diferença $R^2 - r^2$ usando o comprimento da tangente?

Se metade da tangente é a, então $R^2 - r^2 = a^2$.

Por que usamos o teorema de Pitágoras nessa questão?

Porque o triângulo formado pelo centro, o ponto de tangência e o extremo da tangente é retângulo.

Qual é a área do passeio, em função da medida AB = 16 m?

A área é $\pi \times 8^2 = 64\pi$ m², pois $a = 8$ m e $R^2 - r^2 = 64$.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 153

ENEM 2018 Questão 153

A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.

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O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos _A_ e _B_, conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta _AB_: 16 m.

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Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.

A medida encontrada pelo engenheiro foi

Resolução

A questão envolve geometria plana, mais especificamente áreas de círculos e propriedades de segmentos tangentes. Temos uma praça circular com um chafariz circular concêntrico. O engenheiro não conhece os raios, mas mede o segmento AB, que é uma tangente ao chafariz e termina nas bordas da praça, com comprimento 16 m. O objetivo é calcular a área do passeio (região entre o círculo maior e o menor). Seja R o raio da praça e r o raio do chafariz. O segmento AB é uma corda do círculo maior e tangente ao círculo menor. Pela propriedade da tangente e do círculo, a distância do centro ao ponto médio de AB é r, e AB é perpendicular ao raio nesse ponto. Usando o triângulo retângulo formado pelo centro, o ponto médio de AB e um dos extremos de AB, temos: $R^2 = r^2 + 8^2$, pois metade de AB é 8 m. Assim, $R^2 - r^2 = 64$. A área do passeio é $\pi(R^2 - r^2) = \pi \times 64 = 64\pi$ m². Portanto, a alternativa correta é a D.

Comentários por alternativa

A 4π.

A alternativa A (4$\pi)$ é incorreta, pois corresponde a uma diferença de áreas muito pequena, incompatível com o valor de AB = 16 m.
B 8π.

A alternativa B (8$\pi)$ é incorreta, pois resulta de um erro no cálculo da diferença de áreas, provavelmente confundindo o valor de AB ou esquecendo de elevar ao quadrado.
C 48π.

A alternativa C (48$\pi)$ está errada, pois não corresponde à diferença correta entre os quadrados dos raios; pode ser resultado de um erro de cálculo intermediário.
D 64π.

A alternativa D (64\pi) está correta, pois $R^2 - r^2 = 8^2 = 64$, logo a área do passeio é $\pi \times 64 = 64\pi$ m², de acordo com a relação geométrica entre a tangente e os raios.
E 192π.

A alternativa E (192$\pi)$ é incorreta, pois superestima a área do passeio, provavelmente multiplicando erroneamente por 3 o valor correto.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é uma tangente a um círculo?: É uma reta que toca o círculo em exatamente um ponto, formando um ângulo de 90° com o raio nesse ponto.
2. Como se calcula a área de um anel circular (região entre dois círculos concêntricos)?: Subtrai-se a área do círculo menor da área do maior: $A = \pi(R^2 - r^2)$.
3. Qual a relação entre o segmento tangente e os raios de círculos concêntricos?: Se a tangente tem comprimento 2a, então $R^2 = r^2 + a^2$, onde R é o raio maior e r o menor.
4. O que representa o segmento AB na questão?: AB é uma corda do círculo maior tangente ao círculo menor, com comprimento 16 m.
5. Como determinar a diferença $R^2 - r^2$ usando o comprimento da tangente?: Se metade da tangente é a, então $R^2 - r^2 = a^2$.
6. Por que usamos o teorema de Pitágoras nessa questão?: Porque o triângulo formado pelo centro, o ponto de tangência e o extremo da tangente é retângulo.
7. Qual é a área do passeio, em função da medida AB = 16 m?: A área é $\pi \times 8^2 = 64\pi$ m², pois $a = 8$ m e $R^2 - r^2 = 64$.