O que é uma zona de combate em um tabuleiro n x n segundo o enunciado?

É o conjunto de casas na mesma linha ou coluna de uma peça colocada, exceto a própria casa da peça.

Como se calcula o número de casas na zona de combate de uma peça?

É $2n-1$, pois há n casas na linha, n na coluna, menos 1 pela interseção.

Qual é o total de casas disponíveis para a segunda peça após a primeira jogada?

São $n^2 - 1$ casas, pois uma já está ocupada.

Como se calcula a probabilidade de a segunda peça cair na zona de combate da primeira?

Divide-se o número de casas na zona de combate pelo total de casas disponíveis: $\frac{2n-1}{n^2-1}$.

Qual inequação deve ser resolvida para encontrar o valor mínimo de n?

A inequação é $\frac{2n-1}{n^2-1} < 0,2$.

Qual é o valor mínimo de n que satisfaz a condição da questão?

O menor valor inteiro é $n = 10$.

Por que n = 9 não serve como resposta correta?

Porque a probabilidade para n = 9 é $\frac{17}{80} = 0,2125$, que ainda é maior que 0,2.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 154

Q: Qual é o valor mínimo de n que satisfaz a condição da questão?

O menor valor inteiro é $n = 10$.

Q: Por que n = 9 não serve como resposta correta?

Porque a probabilidade para n = 9 é $\frac{17}{80} = 0,2125$, que ainda é maior que 0,2.

ENEM 2018 Questão 154

Um _designer_ de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n x n, com

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no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão 8 x 8.

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O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a

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A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é

Resolução

A questão trata de análise combinatória e probabilidade em um tabuleiro de dimensão n x n. O objetivo é determinar o menor valor de n para que a probabilidade de a segunda peça ser colocada na zona de combate da primeira seja inferior a 0,2 (ou 20%). A zona de combate de uma peça corresponde a todas as casas na mesma linha ou coluna, exceto a casa ocupada pela peça. Após a primeira peça ser colocada, existem $2n - 1$ casas na zona de combate (n na linha, n na coluna, menos 1 pela interseção). O total de casas disponíveis para a segunda peça é $n^2 - 1$. Assim, a probabilidade é $\frac{2n-1}{n^2-1}$. Queremos $\frac{2n-1}{n^2-1} < 0,2$. Resolvendo a inequação, encontramos $n > 9,05$, logo, a menor dimensão inteira é $n = 10$, ou seja, tabuleiro 10 x 10.

Comentários por alternativa

A 4 x 4.

A alternativa A (4 x 4) está errada porque, para n = 4, a probabilidade é $\frac{7}{15} \approx 0,467$, bem acima de 0,2.
B 6 x 6.

A alternativa B (6 x 6) está errada porque, para n = 6, a probabilidade é $\frac{11}{35} \approx 0,314$, ainda acima de 0,2.
C 9 x 9.

A alternativa C (9 x 9) está errada porque, para n = 9, a probabilidade é $\frac{17}{80} = 0,2125$, ainda um pouco acima de 0,2.
D 10 x 10.

A alternativa D (10 x 10) está correta porque, para n = 10, a probabilidade é $\frac{19}{99} \approx 0,192$, que é inferior a 0,2, atendendo ao requisito do problema.
E 11 x 11.

A alternativa E (11 x 11) está errada porque, embora atenda à condição, não é a menor dimensão possível; 10 x 10 já satisfaz a restrição.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é uma zona de combate em um tabuleiro n x n segundo o enunciado?: É o conjunto de casas na mesma linha ou coluna de uma peça colocada, exceto a própria casa da peça.
2. Como se calcula o número de casas na zona de combate de uma peça?: É $2n-1$, pois há n casas na linha, n na coluna, menos 1 pela interseção.
3. Qual é o total de casas disponíveis para a segunda peça após a primeira jogada?: São $n^2 - 1$ casas, pois uma já está ocupada.
4. Como se calcula a probabilidade de a segunda peça cair na zona de combate da primeira?: Divide-se o número de casas na zona de combate pelo total de casas disponíveis: $\frac{2n-1}{n^2-1}$.
5. Qual inequação deve ser resolvida para encontrar o valor mínimo de n?: A inequação é $\frac{2n-1}{n^2-1} < 0,2$.
6. Qual é o valor mínimo de n que satisfaz a condição da questão?: O menor valor inteiro é $n = 10$.
7. Por que n = 9 não serve como resposta correta?: Porque a probabilidade para n = 9 é $\frac{17}{80} = 0,2125$, que ainda é maior que 0,2.