O que significa o termo constante em uma função como $Q(t) = 20 + 2 \sin(t) - 4 \cos(t)$?

O termo constante (20) desloca verticalmente o gráfico, definindo o valor médio em torno do qual a função oscila.

Como se determina a amplitude de uma função do tipo $a \sin(t) + b \cos(t)$?

A amplitude é dada por $\sqrt{a^2 + b^2}$; para $2 \sin(t) - 4 \cos(t)$, a amplitude é $\sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} \approx 4,47$.

Qual o período das funções $\sin(t)$ e $\cos(t)$?

Ambas têm período $2\pi$, ou seja, completam um ciclo a cada $2\pi$ unidades de $t$.

Como calcular o valor máximo de $Q(t) = 20 + 2 \sin(t) - 4 \cos(t)$?

O valor máximo ocorre quando $2 \sin(t) - 4 \cos(t)$ atinge seu máximo, ou seja, $Q_{max} = 20 + \sqrt{20} \approx 24,47$.

O que representa uma função periódica em contextos ambientais?

Funções periódicas podem modelar variações cíclicas, como poluentes variando sazonalmente ou por processos industriais regulares.

Por que a análise de máximos e mínimos é importante em funções ambientais?

Ajuda a prever picos de poluição e planejar ações de controle, evitando danos ambientais em períodos críticos.

Como identificar o valor médio de uma função periódica com termo constante?

O valor médio é igual ao termo constante, pois as médias de $\sin(t)$ e $\cos(t)$ em um período são zero.

Questão 58 — A poluição de rios, lagos e lagoas é um dos grandes problemas enfrentados pela sociedade moderna. Ao longo das últimas décadas, vários mecanismos têm…

UNICAMP 2025 Questão 58

A poluição de rios, lagos e lagoas é um dos grandes problemas enfrentados pela sociedade moderna. Ao longo das últimas décadas, vários mecanismos têm sido utilizados para minimizar os danos causados por ela. Uma indústria despeja numa lagoa, de forma indevida, água contaminada por um poluente a uma certa taxa. Dependendo da vazão da lagoa e da concentração do poluente, é possível verificar que a quantidade total desse contaminante na lagoa num tempo $t$, denotada por $Q(t)$, é dada por $Q(t) = 20 + 2 \sin(t) - 4 \cos(t)$, em que $t$ representa o tempo medido em anos e $Q(t)$ é medido em quilos.

O gráfico que melhor representa a função $Q(t)$, ou seja, a quantidade total do poluente na lagoa num tempo $t$ é:

Resolução

Resposta correta: Letra A — 25 20 15 10 5 0 2 4 6 8 t Q(t)

A questão aborda a análise do gráfico de uma função periódica que modela a quantidade de poluente em uma lagoa ao longo do tempo. A função dada é $Q(t) = 20 + 2 \sin(t) - 4 \cos(t)$, onde $t$ está em anos e $Q(t)$ em quilos. Para resolver, é necessário compreender funções trigonométricas, suas amplitudes, períodos e como constantes afetam o gráfico. O termo $20$ desloca o gráfico para cima, $2 \sin(t)$ e $-4 \cos(t)$ determinam a oscilação em torno desse valor. O máximo ocorre quando $\sin(t) = 1$ e $\cos(t) = -1$, e o mínimo quando $\sin(t) = -1$ e $\cos(t) = 1$. Calculando: máximo $Q_{max} = 20 + 2(1) - 4(-1) = 26$, mínimo $Q_{min} = 20 + 2(-1) - 4(1) = 14$. O gráfico correto deve oscilar entre 14 e 26, com média 20, apresentando comportamento periódico. A alternativa A é a que melhor representa essa função.

Comentários por alternativa

A [img:gráfico_a] 25 20 15 10 5 0 2 4 6 8 t Q(t)

A alternativa A está correta porque mostra um gráfico oscilando entre aproximadamente 14 e 26, centrado em 20, com padrão periódico, exatamente como a função $Q(t) = 20 + 2 \sin(t) - 4 \cos(t)$ prevê.
B [img:gráfico_b] 25 20 15 10 5 0 2 4 6 8 t Q(t)

A alternativa B está errada porque apresenta uma oscilação fora dos limites corretos (14 a 26) ou com deslocamento vertical incorreto, não refletindo o valor médio de 20.
C [img:gráfico_c] 25 20 15 10 5 0 2 4 6 8 t Q(t)

A alternativa C está incorreta pois o gráfico não apresenta o comportamento periódico adequado, ou a amplitude e o valor médio não correspondem à função dada.
D [img:gráfico_d] 25 20 15 10 5 0 2 4 6 8 t Q(t)

A alternativa D está errada porque o gráfico não oscila corretamente em torno de 20, podendo estar invertido, deslocado ou com amplitude errada.
E

A alternativa E não apresenta gráfico ou está em branco, portanto não pode ser a resposta correta.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7

1. O que significa o termo constante em uma função como $Q(t) = 20 + 2 \sin(t) - 4 \cos(t)$?: O termo constante (20) desloca verticalmente o gráfico, definindo o valor médio em torno do qual a função oscila.
2. Como se determina a amplitude de uma função do tipo $a \sin(t) + b \cos(t)$?: A amplitude é dada por $\sqrt{a^2 + b^2}$; para $2 \sin(t) - 4 \cos(t)$, a amplitude é $\sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} \approx 4,47$.
3. Qual o período das funções $\sin(t)$ e $\cos(t)$?: Ambas têm período $2\pi$, ou seja, completam um ciclo a cada $2\pi$ unidades de $t$.
4. Como calcular o valor máximo de $Q(t) = 20 + 2 \sin(t) - 4 \cos(t)$?: O valor máximo ocorre quando $2 \sin(t) - 4 \cos(t)$ atinge seu máximo, ou seja, $Q_{max} = 20 + \sqrt{20} \approx 24,47$.
5. O que representa uma função periódica em contextos ambientais?: Funções periódicas podem modelar variações cíclicas, como poluentes variando sazonalmente ou por processos industriais regulares.
6. Por que a análise de máximos e mínimos é importante em funções ambientais?: Ajuda a prever picos de poluição e planejar ações de controle, evitando danos ambientais em períodos críticos.
7. Como identificar o valor médio de uma função periódica com termo constante?: O valor médio é igual ao termo constante, pois as médias de $\sin(t)$ e $\cos(t)$ em um período são zero.

Questão 58 — A poluição de rios, lagos e lagoas é um dos grandes problemas enfrentados pela sociedade moderna. Ao longo das últimas décadas, vários mecanismos têm…

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