O que significa a desigualdade $|x - a| \leq r$ em termos de intervalo?

Significa que $x$ está no intervalo $[a - r, a + r]$, ou seja, a uma distância máxima $r$ de $a$.

Como interpretar geometricamente $|x - 2| \leq 2$?

Representa todos os valores de $x$ entre 0 e 4, inclusive, na reta real.

Qual é o maior valor possível para $x + y$ se $x \in [0,4]$ e $y \in [2,4]$?

O maior valor é $x = 4$ e $y = 4$, então $x + y = 8$.

O que representa o valor absoluto em uma desigualdade?

O valor absoluto representa a distância entre dois pontos na reta real.

Se $|y - 3| \leq 1$, qual o intervalo de valores possíveis para $y$?

O intervalo é $2 \leq y \leq 4$.

Por que $x^{2} + y^{2} \leq 1$ não pode ser garantido para $x \in [0,4]$ e $y \in [2,4]$?

Porque para valores máximos de $x$ e $y$, a soma dos quadrados pode ser muito maior que 1.

Como determinar o valor máximo de uma soma envolvendo variáveis em intervalos?

Basta somar os valores máximos de cada variável em seus respectivos intervalos.

Questão 52 — Ana está treinando as habilidades matemáticas de seu irmão mais novo. Ela escolheu dois números reais $x$, $y$ e avisou para seu irmão que os números…

UNICAMP 2025 Questão 52

Fácil

Ana está treinando as habilidades matemáticas de seu irmão mais novo. Ela escolheu dois números reais $x$, $y$ e avisou para seu irmão que os números satisfazem às desigualdades $|x - 2| \leq 2$ e $|y - 3| \leq 1$.

O que o irmão de Ana pode concluir corretamente sobre esses números?

Resolução

Resposta correta: Letra C — $x + y \leq 8.$

A questão aborda o conceito de desigualdades envolvendo valor absoluto e suas interpretações geométricas. O valor absoluto $|x - a| \leq r$ descreve todos os pontos $x$ que estão a uma distância menor ou igual a $r$ do ponto $a$ na reta real. Assim, $|x - 2| \leq 2$ implica $0 \leq x \leq 4$, e $|y - 3| \leq 1$ implica $2 \leq y \leq 4$. O comando pede para identificar uma afirmação correta sobre $x$ e $y$ nessas condições. Ao analisar as alternativas, percebe-se que a soma máxima possível de $x + y$ ocorre quando ambos estão em seus valores máximos: $x = 4$ e $y = 4$, então $x + y = 8$. Portanto, $x + y \leq 8$ é sempre verdadeiro, sendo a alternativa correta.

Comentários por alternativa

A $x^{2} + y^{2} \leq 1.$

A alternativa A está errada porque $x^{2} + y^{2} \leq 1$ não é garantido: por exemplo, para $x = 4$ e $y = 4$, temos $x^{2} + y^{2} = 16 + 16 = 32$, que é muito maior que 1.
B $x + y \geq 10.$

A alternativa B está errada porque $x + y \geq 10$ não é possível: o valor máximo de $x + y$ é 8, então nunca será maior ou igual a 10.
C $x + y \leq 8.$

A alternativa C está correta porque, como $x \leq 4$ e $y \leq 4$, a soma máxima é $8$, logo $x + y \leq 8$ é sempre verdadeiro para os intervalos dados.
D $x^{2} + y^{2} \geq 36.$

A alternativa D está errada porque $x^{2} + y^{2} \geq 36$ não é possível: o máximo é $x = 4$, $y = 4$, então $x^{2} + y^{2} = 32$, que é menor que 36.
E

A alternativa E está em branco ou ausente, portanto não pode ser considerada correta.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7

1. O que significa a desigualdade $|x - a| \leq r$ em termos de intervalo?: Significa que $x$ está no intervalo $[a - r, a + r]$, ou seja, a uma distância máxima $r$ de $a$.
2. Como interpretar geometricamente $|x - 2| \leq 2$?: Representa todos os valores de $x$ entre 0 e 4, inclusive, na reta real.
3. Qual é o maior valor possível para $x + y$ se $x \in [0,4]$ e $y \in [2,4]$?: O maior valor é $x = 4$ e $y = 4$, então $x + y = 8$.
4. O que representa o valor absoluto em uma desigualdade?: O valor absoluto representa a distância entre dois pontos na reta real.
5. Se $|y - 3| \leq 1$, qual o intervalo de valores possíveis para $y$?: O intervalo é $2 \leq y \leq 4$.
6. Por que $x^{2} + y^{2} \leq 1$ não pode ser garantido para $x \in [0,4]$ e $y \in [2,4]$?: Porque para valores máximos de $x$ e $y$, a soma dos quadrados pode ser muito maior que 1.
7. Como determinar o valor máximo de uma soma envolvendo variáveis em intervalos?: Basta somar os valores máximos de cada variável em seus respectivos intervalos.

Questão 52 — Ana está treinando as habilidades matemáticas de seu irmão mais novo. Ela escolheu dois números reais $x$, $y$ e avisou para seu irmão que os números…

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