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Questão 7 — Considere a equação trigonométrica $$\sin \frac{\pi}{2} + \sin x = \sin (2x) - \cos \pi$$ para $x \in \mathbb{R}$, $0 \le x < 2\pi$. Um estudante res…

FUVEST 2026 Questão 7

Difícil

Considere a equação trigonométrica $\sin \frac{\pi}{2} + \sin x = \sin (2x) - \cos \pi$ para $x \in \mathbb{R}$, $0 \le x < 2\pi$. Um estudante resolveu essa equação da seguinte maneira:

$$\sin \frac{\pi}{2} + \sin x = \sin (2x) - \cos \pi$ $$1 + \sin x = \sin (2x) + 1$ $$\sin x = \sin (2x)$ $$\sin x = 2\sin x$ $$2\sin x - \sin x = 0$ $$\sin x = 0$ $$x = 0 \text{ ou } x = \pi$$

A resolução apresentada pelo estudante está errada, pois ele

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Resolução

Resposta correta: Letra D — não utilizou corretamente o seno da soma de dois arcos.

A questão aborda a resolução de uma equação trigonométrica envolvendo seno e cosseno, exigindo conhecimento das identidades trigonométricas e manipulação algébrica correta. O estudante deveria aplicar a fórmula do seno do ângulo duplo: \(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\), mas, ao invés disso, tratou \(\sin(2x)\) como se fosse \(2\sin x\), o que é incorreto. O erro central está em não utilizar corretamente a identidade do seno do dobro do arco, levando a uma resolução equivocada. O passo a passo correto envolveria substituir \(\sin(2x)\) por \(2\sin x \cos x\) e, então, resolver a equação resultante. Portanto, a alternativa correta é a D.

Comentários por alternativa

  1. A considerou que $\cos \pi$ vale 1.
    Errada. O estudante considerou corretamente que \(\cos \pi = -1\), pois \(\cos \pi\) é sempre igual a -1.
  2. B não considerou as infinitas voltas no ciclo trigonométrico para a resposta.
    Errada. O domínio da questão está restrito ao intervalo \(0 \leq x < 2\pi\), então não é necessário considerar infinitas voltas.
  3. C considerou que $\sin \frac{\pi}{2}$ vale 1.
    Errada. O estudante corretamente utilizou que \(\sin \frac{\pi}{2} = 1\).
  4. D não utilizou corretamente o seno da soma de dois arcos.
    Correta. O erro do estudante foi não aplicar corretamente a identidade \(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\), tratando-a como \(2\sin x\), o que levou à resolução errada da equação.
  5. E apresentou duas respostas e não apenas uma.
    Errada. O problema não está no número de respostas apresentadas, mas sim na manipulação incorreta das identidades trigonométricas.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7
1. Qual é a identidade fundamental para o seno do dobro do arco?
A identidade é \(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\).
2. Quanto vale \(\sin \frac{\pi}{2}\)?
Vale 1, pois é o valor máximo do seno.
3. Quanto vale \(\cos \pi\)?
Vale -1, pois o cosseno de 180° é -1.
4. Como resolver uma equação do tipo \(\sin x = \sin y\)?
As soluções são \(x = y + 2k\pi\) ou \(x = \pi - y + 2k\pi\), com \(k \in \mathbb{Z}\).
5. Qual é o domínio usual de uma equação trigonométrica em vestibulares?
Geralmente, o domínio é \(0 \leq x < 2\pi\) ou \(0 \leq x < 360^\circ\).
6. O que acontece se você substituir \(\sin(2x)\) por \(2\sin x\)?
Você comete um erro, pois ignora o fator \(\cos x\), levando a soluções incorretas.
7. Por que é importante conhecer as identidades trigonométricas em equações?
Porque elas permitem transformar e resolver corretamente as equações, evitando erros conceituais.

Treino guiado

Detonando o Tema

O DIMVS vai preparar 3 perguntas sobre o mesmo tema desta questão: uma fácil, uma média e uma difícil.

1. Comece pelo fácil 2. Suba para o médio 3. Feche no difícil

Ao responder, você vê a resolução, comentários das alternativas e flashcards. No fim, o resultado mostra seu domínio do tema.

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