Qual é a identidade fundamental para o seno do dobro do arco?

A identidade é $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.

Quanto vale $\sin \frac{\pi}{2}$?

Vale 1, pois é o valor máximo do seno.

Quanto vale $\cos \pi$?

Vale -1, pois o cosseno de 180° é -1.

Como resolver uma equação do tipo $\sin x = \sin y$?

As soluções são $x = y + 2k\pi$ ou $x = \pi - y + 2k\pi$, com $k \in \mathbb{Z}$.

Qual é o domínio usual de uma equação trigonométrica em vestibulares?

Geralmente, o domínio é $0 \leq x < 2\pi$ ou $0 \leq x < 360^\circ$.

O que acontece se você substituir $\sin(2x)$ por $2\sin x$?

Você comete um erro, pois ignora o fator $\cos x$, levando a soluções incorretas.

Por que é importante conhecer as identidades trigonométricas em equações?

Porque elas permitem transformar e resolver corretamente as equações, evitando erros conceituais.

A resolução apresentada pelo estudante está errada, pois ele

Q: O que acontece se você substituir $\sin(2x)$ por $2\sin x$?

Você comete um erro, pois ignora o fator $\cos x$, levando a soluções incorretas.

Q: Por que é importante conhecer as identidades trigonométricas em equações?

Porque elas permitem transformar e resolver corretamente as equações, evitando erros conceituais.

FUVEST 2026 Questão 7

Considere a equação trigonométrica $$\sin \frac{\pi}{2} + \sin x = \sin (2x) - \cos \pi$$ para $x \in \mathbb{R}$, $0 \le x < 2\pi$. Um estudante resolveu essa equação da seguinte maneira: $$\sin \frac{\pi}{2} + \sin x = \sin (2x) - \cos \pi$$ $$1 + \sin x = \sin (2x) + 1$$ $$\sin x = \sin (2x)$$ $$\sin x = 2\sin x$$ $$2\sin x - \sin x = 0$$ $$\sin x = 0$$ $$x = 0 \text{ ou } x = \pi$$

A resolução apresentada pelo estudante está errada, pois ele

Resolução

A questão aborda a resolução de uma equação trigonométrica envolvendo seno e cosseno, exigindo conhecimento das identidades trigonométricas e manipulação algébrica correta. O estudante deveria aplicar a fórmula do seno do ângulo duplo: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, mas, ao invés disso, tratou $\sin(2x)$ como se fosse $2\sin x$, o que é incorreto. O erro central está em não utilizar corretamente a identidade do seno do dobro do arco, levando a uma resolução equivocada. O passo a passo correto envolveria substituir $\sin(2x)$ por $2\sin x \cos x$ e, então, resolver a equação resultante. Portanto, a alternativa correta é a D.

Comentários por alternativa

A considerou que $\cos \pi$ vale 1.

Errada. O estudante considerou corretamente que $\cos \pi = -1$, pois $\cos \pi$ é sempre igual a -1.
B não considerou as infinitas voltas no ciclo trigonométrico para a resposta.

Errada. O domínio da questão está restrito ao intervalo $0 \leq x < 2\pi$, então não é necessário considerar infinitas voltas.
C considerou que $\sin \frac{\pi}{2}$ vale 1.

Errada. O estudante corretamente utilizou que $\sin \frac{\pi}{2} = 1$.
D não utilizou corretamente o seno da soma de dois arcos.

Correta. O erro do estudante foi não aplicar corretamente a identidade $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, tratando-a como $2\sin x$, o que levou à resolução errada da equação.
E apresentou duas respostas e não apenas uma.

Errada. O problema não está no número de respostas apresentadas, mas sim na manipulação incorreta das identidades trigonométricas.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7

1. Qual é a identidade fundamental para o seno do dobro do arco?: A identidade é $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.
2. Quanto vale $\sin \frac{\pi}{2}$?: Vale 1, pois é o valor máximo do seno.
3. Quanto vale $\cos \pi$?: Vale -1, pois o cosseno de 180° é -1.
4. Como resolver uma equação do tipo $\sin x = \sin y$?: As soluções são $x = y + 2k\pi$ ou $x = \pi - y + 2k\pi$, com $k \in \mathbb{Z}$.
5. Qual é o domínio usual de uma equação trigonométrica em vestibulares?: Geralmente, o domínio é $0 \leq x < 2\pi$ ou $0 \leq x < 360^\circ$.
6. O que acontece se você substituir $\sin(2x)$ por $2\sin x$?: Você comete um erro, pois ignora o fator $\cos x$, levando a soluções incorretas.
7. Por que é importante conhecer as identidades trigonométricas em equações?: Porque elas permitem transformar e resolver corretamente as equações, evitando erros conceituais.