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Matemática e suas Tecnologias

Questão 166

ENEM 2017 Questão 166

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A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi

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Resolução

Resposta correta: Letra A — P(t) = 99 + 21cos(3πt)

A questão aborda funções trigonométricas periódicas, especificamente uma função do tipo $P(t) = a + b\cos(kt)$, que modela fenômenos periódicos, como variações populacionais, temperatura, etc. Para resolver, é necessário compreender os parâmetros: 'a' representa o valor médio (ou deslocamento vertical), 'b' a amplitude (quanto a função oscila em torno do valor médio) e 'k' está relacionado ao período da função (quanto maior k, menor o período). A análise das alternativas exige identificar qual delas apresenta os valores corretos para esses parâmetros, de acordo com o caso específico citado no comando. A alternativa correta, A, apresenta $P(t) = 99 + 21\cos(3\pi t)$, indicando valor médio 99, amplitude 21 e frequência angular $3\pi$, que determina o período da função. As demais alternativas erram ao modificar algum desses parâmetros (valor médio, amplitude ou frequência), o que descaracteriza o caso analisado.

Comentários por alternativa

  1. A P(t) = 99 + 21cos(3πt)
    A alternativa A está correta porque apresenta a função $P(t) = 99 + 21\cos(3\pi t)$, onde 99 é o valor médio, 21 é a amplitude e $3\pi$ é a frequência angular, compatível com o caso específico analisado pelo cientista.
  2. B P(t) = 78 + 42cos(3πt)
    A alternativa B está errada porque altera tanto o valor médio (78 em vez de 99) quanto a amplitude (42 em vez de 21), além de manter a frequência correta. Esses valores não correspondem ao caso específico.
  3. C P(t) = 99 + 21cos(2πt)
    A alternativa C está errada porque utiliza a frequência angular $2\pi$ em vez de $3\pi$, mudando o período da função. O valor médio e a amplitude estão corretos, mas a frequência não.
  4. D P(t) = 99 + 21cos(t)
    A alternativa D está errada porque utiliza frequência angular igual a 1 (ou seja, $\cos(t)$), o que altera completamente o período da função. O valor médio e a amplitude estão corretos, mas a frequência não.
  5. E P(t) = 78 + 42cos(t)
    A alternativa E está errada porque tanto o valor médio (78) quanto a amplitude (42) estão incorretos, além de usar frequência angular igual a 1, diferente do caso analisado.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7
1. O que representa o termo 'a' em uma função do tipo $f(t) = a + b\cos(kt)$?
O termo 'a' representa o valor médio ou deslocamento vertical da função, em torno do qual ocorre a oscilação.
2. Como se calcula o período de uma função $\cos(kt)$?
O período é dado por $T = \frac{2\pi}{k}$, onde k é a frequência angular.
3. O que significa a amplitude em uma função periódica?
A amplitude é o valor máximo de afastamento em relação ao valor médio; em $a + b\cos(kt)$, é o módulo de b.
4. Qual a diferença entre frequência e período em funções trigonométricas?
O período é o tempo para uma repetição completa, enquanto a frequência é o número de repetições por unidade de tempo; são inversos.
5. Por que a escolha correta da frequência angular é importante em modelagem matemática?
Porque ela determina o ritmo de repetição do fenômeno modelado, ajustando o modelo à realidade observada.
6. Se a função é $P(t) = 99 + 21\cos(3\pi t)$, qual é sua amplitude e valor médio?
A amplitude é 21 e o valor médio é 99.
7. Como identificar o erro em alternativas que mudam a amplitude ou valor médio em funções periódicas?
Mudanças nesses parâmetros alteram o comportamento da função, tornando-a incompatível com o fenômeno real descrito.

Treino guiado

Detonando o Tema

O DIMVS vai preparar 3 perguntas sobre o mesmo tema desta questão: uma fácil, uma média e uma difícil.

1. Comece pelo fácil 2. Suba para o médio 3. Feche no difícil

Ao responder, você vê a resolução, comentários das alternativas e flashcards. No fim, o resultado mostra seu domínio do tema.