O que é uma combinação simples em análise combinatória?

Combinação simples é o agrupamento de elementos em que a ordem não importa, calculada por $C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Como calcular o número de maneiras de formar duplas a partir de um grupo de pessoas?

Divide-se o grupo em pares, usando a fórmula $\frac{n!}{2!^{k}k!}$, onde $n$ é o total de pessoas e $k$ o número de duplas.

Por que precisamos multiplicar por 2! ao parear os canhotos com os destros escolhidos?

Porque há 2 canhotos e 2 destros escolhidos, e cada canhoto pode ser pareado com qualquer destro, totalizando 2! = 2 formas.

Qual é a restrição fundamental deste problema de formação de duplas?

A restrição é que nenhuma dupla pode ser formada por dois canhotos.

Como dividir 4 pessoas em 2 duplas distintas?

Usa-se $\frac{1}{2} \cdot C_{4,2} = 3$ maneiras, pois a ordem das duplas não importa.

O que significa o símbolo $C_{n,k}$ em combinatória?

$C_{n,k}$ representa o número de combinações possíveis de $n$ elementos tomados $k$ a $k$ sem repetição.

Por que não podemos simplesmente dividir todos os 8 amigos em duplas sem restrição?

Porque a restrição dos canhotos impede que eles formem dupla entre si, alterando a contagem total de agrupamentos possíveis.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 156

ENEM 2019 Questão 156

Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos.

De quantas maneiras diferentes podem ser formadas essas quatro duplas?

Resolução

A questão trata de análise combinatória, mais especificamente de contagem de agrupamentos sob restrição. O problema pede o número de maneiras de formar 4 duplas a partir de 8 amigos, sendo que dois deles são canhotos e nenhuma dupla pode ter dois canhotos juntos. O raciocínio começa identificando que os dois canhotos não podem estar juntos, logo, cada um deles deve necessariamente estar em uma dupla com um destro. Como há 6 destros, primeiro escolhemos 2 destros para fazer dupla com os 2 canhotos. O número de formas de escolher 2 destros entre 6 é dado por $C_{6,2} = 15$. Agora, cada canhoto pode ser pareado com qualquer um dos destros escolhidos, então há 2! = 2 maneiras de formar as duplas dos canhotos. Restam 4 destros, que devem ser agrupados em 2 duplas. O número de maneiras de dividir 4 pessoas em 2 duplas é $\frac{1}{2} \cdot C_{4,2} \cdot C_{2,2} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1 = 3$. Multiplicando todas as possibilidades: $15 \times 2 \times 3 = 90$. Portanto, a resposta correta é a alternativa C.

Comentários por alternativa

A 69

A alternativa A (69) está incorreta. O erro provavelmente está em não considerar corretamente o pareamento dos canhotos com destros ou na divisão dos destros restantes em duplas.
B 70

A alternativa B (70) está errada. Pode ter resultado de uma contagem incompleta ou de não considerar a ordem das duplas corretamente.
C 90

A alternativa C (90) está correta. Ela resulta do cálculo: escolher 2 destros para os canhotos ($C_{6,2} = 15$), parear os canhotos com esses destros (2!), e dividir os 4 destros restantes em 2 duplas ($3$ maneiras), totalizando $15 \times 2 \times 3 = 90$.
D 104

A alternativa D (104) está incorreta. Provavelmente é fruto de um erro de contagem, talvez ao não dividir por 2! para eliminar duplas repetidas.
E 105

A alternativa E (105) está errada. Esse valor pode surgir de uma combinação sem considerar as restrições impostas aos canhotos.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é uma combinação simples em análise combinatória?: Combinação simples é o agrupamento de elementos em que a ordem não importa, calculada por $C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
2. Como calcular o número de maneiras de formar duplas a partir de um grupo de pessoas?: Divide-se o grupo em pares, usando a fórmula $\frac{n!}{2!^{k}k!}$, onde $n$ é o total de pessoas e $k$ o número de duplas.
3. Por que precisamos multiplicar por 2! ao parear os canhotos com os destros escolhidos?: Porque há 2 canhotos e 2 destros escolhidos, e cada canhoto pode ser pareado com qualquer destro, totalizando 2! = 2 formas.
4. Qual é a restrição fundamental deste problema de formação de duplas?: A restrição é que nenhuma dupla pode ser formada por dois canhotos.
5. Como dividir 4 pessoas em 2 duplas distintas?: Usa-se $\frac{1}{2} \cdot C_{4,2} = 3$ maneiras, pois a ordem das duplas não importa.
6. O que significa o símbolo $C_{n,k}$ em combinatória?: $C_{n,k}$ representa o número de combinações possíveis de $n$ elementos tomados $k$ a $k$ sem repetição.
7. Por que não podemos simplesmente dividir todos os 8 amigos em duplas sem restrição?: Porque a restrição dos canhotos impede que eles formem dupla entre si, alterando a contagem total de agrupamentos possíveis.