Como se monta um sistema de equações a partir de um problema contextual?

Identificam-se as incógnitas, traduzem-se as informações do texto em equações e resolvem-se simultaneamente.

O que significa dizer que um valor é 20% de outro?

Significa que esse valor corresponde a \frac{20}{100} ou 0,2 vezes o outro valor.

Como calcular o total de elementos em um grupo com subconjuntos distintos?

Soma-se a quantidade de cada subconjunto para obter o total.

Como interpretar a expressão 'excede em 33' em problemas matemáticos?

Significa que um valor é igual ao outro mais 33 unidades: x = y + 33.

Por que é importante definir variáveis em problemas de raciocínio lógico?

Definir variáveis permite organizar o raciocínio e montar equações para resolver o problema.

Como resolver uma equação do tipo y = 0,2\times(192 + y)?

Isola-se y, subtrai-se 0,2y de ambos os lados e resolve-se para y: 0,8y = 38,4 \Rightarrow y = 48.

Qual a diferença entre total de bilhetes vendidos e total de alunos participantes?

O total de bilhetes vendidos considera múltiplas compras por aluno, enquanto o total de alunos participantes conta cada aluno uma única vez.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 178

ENEM 2018 Questão 178

Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos faltaram à festa e não participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compraram três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e muitos compraram apenas um. O total de alunos que comprou um único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos, e o total de bilhetes vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio.

Quantos alunos compraram somente um bilhete?

Resolução

Esta questão envolve raciocínio lógico e sistemas de equações para determinar a quantidade de alunos que compraram apenas um bilhete de rifa. Os conceitos principais são: interpretação de texto matemático, porcentagem, sistemas de equações e análise combinatória simples. Primeiro, definimos as incógnitas: seja x o número de alunos que compraram 3 bilhetes e y o número de alunos que compraram 1 bilhete. Sabemos que 45 alunos compraram 2 bilhetes. O total de bilhetes vendidos é 3x + 2\times45 + y. O total de alunos do colégio é x + 45 + y + 80 (os 80 que faltaram). O total de bilhetes vendidos excede o número de alunos do colégio em 33, então: 3x + 2\times45 + y = x + 45 + y + 80 + 33. Simplificando: 3x + 90 + y = x + y + 158 \Rightarrow 2x = 68 \Rightarrow x = 34. O total de bilhetes vendidos é 3\times34 + 90 + y = 102 + 90 + y = 192 + y. O número de alunos que compraram 1 bilhete é 20% do total de bilhetes, ou seja, y = 0,2\times(192 + y). Resolvendo: y = 0,2\times192 + 0,2y \Rightarrow y - 0,2y = 38,4 \Rightarrow 0,8y = 38,4 \Rightarrow y = 48. Portanto, 48 alunos compraram apenas um bilhete.

Comentários por alternativa

A 34

A alternativa A (34) corresponde ao número de alunos que compraram 3 bilhetes, não ao número que comprou apenas um. É um erro comum de interpretação.
B 42

A alternativa B (42) resulta de um erro de cálculo ao aplicar a porcentagem ou ao montar o sistema de equações, não correspondendo ao valor correto.
C 47

A alternativa C (47) é um valor próximo ao correto, mas resulta de arredondamento ou erro na manipulação da equação percentual.
D 48

A alternativa D (48) está correta, pois ao resolver o sistema de equações e aplicar corretamente a porcentagem, encontra-se que 48 alunos compraram apenas um bilhete.
E 79

A alternativa E (79) é um valor muito acima do correto, provavelmente resultado de confusão entre o total de bilhetes vendidos e o número de alunos presentes.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. Como se monta um sistema de equações a partir de um problema contextual?: Identificam-se as incógnitas, traduzem-se as informações do texto em equações e resolvem-se simultaneamente.
2. O que significa dizer que um valor é 20% de outro?: Significa que esse valor corresponde a \frac{20}{100} ou 0,2 vezes o outro valor.
3. Como calcular o total de elementos em um grupo com subconjuntos distintos?: Soma-se a quantidade de cada subconjunto para obter o total.
4. Como interpretar a expressão 'excede em 33' em problemas matemáticos?: Significa que um valor é igual ao outro mais 33 unidades: x = y + 33.
5. Por que é importante definir variáveis em problemas de raciocínio lógico?: Definir variáveis permite organizar o raciocínio e montar equações para resolver o problema.
6. Como resolver uma equação do tipo y = 0,2\times(192 + y)?: Isola-se y, subtrai-se 0,2y de ambos os lados e resolve-se para y: 0,8y = 38,4 \Rightarrow y = 48.
7. Qual a diferença entre total de bilhetes vendidos e total de alunos participantes?: O total de bilhetes vendidos considera múltiplas compras por aluno, enquanto o total de alunos participantes conta cada aluno uma única vez.