Como se modela a altura de um ponto em uma roda-gigante usando funções trigonométricas?

Usa-se uma função do tipo $f(t) = R\sin(t) + h$, onde $R$ é o raio e $h$ é a altura do centro.

Qual a diferença entre usar seno e cosseno para modelar movimentos circulares?

O seno é usado quando o ponto parte do ponto médio (paralelo ao solo), e o cosseno quando parte do topo ou base.

O que representa a amplitude em uma função trigonométrica aplicada ao movimento circular?

A amplitude representa o raio da circunferência descrita pelo movimento.

O que significa o deslocamento vertical em funções como $f(t) = R\sin(t) + h$?

O deslocamento vertical $h$ indica a altura do centro da circunferência em relação ao solo.

Por que funções como $a\sin(t) + b\cos(t)$ não são usadas diretamente para altura em roda-gigante?

Porque a altura depende apenas de um eixo (vertical), sendo suficiente seno ou cosseno com deslocamento e amplitude.

Como identificar o valor do raio e do centro em uma função trigonométrica de altura?

O coeficiente do seno ou cosseno é o raio, e o termo constante é a altura do centro.

O que indica o período de uma função trigonométrica no contexto da roda-gigante?

O período indica o tempo ou ângulo necessário para completar uma volta completa na roda-gigante.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 170

ENEM 2018 Questão 170

Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a _High Roller_, situada em Las Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras:

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A partir da posição indicada, em que o segmento _OA_ se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a _High Roller_ no sentido anti-horário, em torno do ponto _O_. Sejam _t_ o ângulo determinado pelo segmento _OA_ em relação à sua posição inicial, e _f_ a função que descreve a altura do ponto _A_, em relação ao solo, em função de _t_. Após duas voltas completas, _f_ tem o seguinte gráfico:

A expressão da função altura é dada por

Resolução

Esta questão aborda funções trigonométricas aplicadas ao movimento circular, especificamente na modelagem da altura de um ponto em uma roda-gigante em função do ângulo de rotação. O aluno deve reconhecer que a altura de um ponto em uma circunferência, em função do ângulo, pode ser descrita por uma função do tipo $f(t) = R\sin(t) + h$, onde $R$ é o raio da roda e $h$ é a altura do centro em relação ao solo. O enunciado sugere que, na posição inicial, o segmento OA está paralelo ao solo, indicando que a função deve ser senoidal (pois começa do ponto médio, subindo ou descendo conforme o sentido da rotação). Ao analisar as alternativas, deve-se identificar qual delas representa corretamente a variação da altura em função do ângulo, considerando amplitude (raio), deslocamento vertical (altura do centro) e o uso correto da função seno ou cosseno. A alternativa A está correta pois expressa a altura como $F(t) = 80\sin(t) + 88$, indicando que o raio é 80 e o centro está a 88 metros do solo.

Comentários por alternativa

A F(t) = 80sen(t) + 88

A alternativa A está correta porque usa a função seno, que representa a variação da altura de um ponto que parte da posição média (paralelo ao solo), com amplitude 80 (raio da roda) e deslocamento vertical 88 (altura do centro).
B F(t) = 80cos(t) + 8 8

A alternativa B está errada porque utiliza a função cosseno, que não corresponde à posição inicial descrita no enunciado (paralelo ao solo), além de repetir o valor 8 8, sugerindo erro de digitação.
C F(t) = 88cos(t) + 168

A alternativa C está incorreta pois utiliza cosseno e soma valores incompatíveis com a modelagem correta (88 como amplitude e 168 como deslocamento vertical), o que não representa a situação física da roda-gigante.
D F(t) = 168sen(t) + 88cos(t)

A alternativa D está errada porque mistura seno e cosseno com amplitudes diferentes, o que não corresponde à função altura de um ponto em movimento circular simples.
E F(t) = 88sen(t) + 168cos(t)

A alternativa E está incorreta pois soma seno e cosseno com amplitudes diferentes, o que não é a forma padrão para descrever a altura de um ponto em uma roda-gigante sem deslocamento de fase.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. Como se modela a altura de um ponto em uma roda-gigante usando funções trigonométricas?: Usa-se uma função do tipo $f(t) = R\sin(t) + h$, onde $R$ é o raio e $h$ é a altura do centro.
2. Qual a diferença entre usar seno e cosseno para modelar movimentos circulares?: O seno é usado quando o ponto parte do ponto médio (paralelo ao solo), e o cosseno quando parte do topo ou base.
3. O que representa a amplitude em uma função trigonométrica aplicada ao movimento circular?: A amplitude representa o raio da circunferência descrita pelo movimento.
4. O que significa o deslocamento vertical em funções como $f(t) = R\sin(t) + h$?: O deslocamento vertical $h$ indica a altura do centro da circunferência em relação ao solo.
5. Por que funções como $a\sin(t) + b\cos(t)$ não são usadas diretamente para altura em roda-gigante?: Porque a altura depende apenas de um eixo (vertical), sendo suficiente seno ou cosseno com deslocamento e amplitude.
6. Como identificar o valor do raio e do centro em uma função trigonométrica de altura?: O coeficiente do seno ou cosseno é o raio, e o termo constante é a altura do centro.
7. O que indica o período de uma função trigonométrica no contexto da roda-gigante?: O período indica o tempo ou ângulo necessário para completar uma volta completa na roda-gigante.