O que caracteriza um cone na geometria espacial?

Um cone é um sólido formado por uma base circular e uma superfície lateral que converge para um vértice fora do plano da base.

Como se calcula o comprimento de cada segmento de mangueira nesse problema?

Divide-se o comprimento total disponível pelo número de segmentos: \( \frac{100}{20} = 5 \) m.

Qual relação matemática é usada para relacionar altura, raio e geratriz de um cone?

Usa-se o Teorema de Pitágoras: \( g^2 = h^2 + r^2 \), onde g é a geratriz, h a altura e r o raio.

O que significa dividir a circunferência em 20 arcos iguais?

Significa que os pontos de fixação das mangueiras estão igualmente espaçados ao longo da circunferência da base.

Por que não se pode igualar o raio ao comprimento de cada segmento?

Porque cada segmento forma a hipotenusa de um triângulo retângulo com a altura do cone, não sendo igual ao raio.

Como o Teorema de Pitágoras se aplica neste contexto?

Ele relaciona a altura do cone, o raio da base e o comprimento de cada segmento (geratriz) para formar um triângulo retângulo.

O que aconteceria se o raio fosse maior que 4 m neste problema?

O comprimento de cada segmento seria maior que 5 m, ultrapassando o total de 100 m de mangueira disponível.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 172 — No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore…

ENEM 2020 Questão 172

No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore de Natal, conforme as figuras 1 e 2.

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A árvore deverá ser feita colocando-se mangueiras de iluminação, consideradas segmentos de reta de mesmo comprimento, a partir de um ponto situado a 3 m de altura no poste até um ponto de uma circunferência de fixação, no chão, de tal forma que esta fique dividida em 20 arcos iguais. O poste está fixado no ponto C (centro da circunferência) perpendicularmente ao plano do chão. Para economizar, ele utilizará mangueiras de iluminação aproveitadas de anos anteriores, que juntas totalizaram pouco mais de 100 m de comprimento, dos quais ele decide usar exatamente 100 m e deixar o restante como reserva.

Para que ele atinja seu objetivo, o raio, em metro, da circunferência deverá ser de

Resolução

Resposta correta: Letra A — 4,00.

A questão trata de geometria espacial, mais especificamente do cone, e envolve o uso de conceitos como circunferência, comprimento de arco, relações trigonométricas e o Teorema de Pitágoras. O objetivo é determinar o raio da base de um cone formado por 20 segmentos de mangueira, cada um partindo de um ponto a 3 m de altura (vértice do cone) até pontos igualmente espaçados na circunferência da base (chão). O comprimento total das mangueiras usadas é 100 m, ou seja, cada segmento terá \( \frac{100}{20} = 5 \) m. Cada segmento é a hipotenusa de um triângulo retângulo, com altura 3 m e base igual ao raio \( r \). Aplicando o Teorema de Pitágoras: \( 5^2 = 3^2 + r^2 \Rightarrow 25 = 9 + r^2 \Rightarrow r^2 = 16 \Rightarrow r = 4 \) m. Portanto, a alternativa correta é a letra A.

Comentários por alternativa

A 4,00.

Alternativa A está correta porque, ao aplicar o Teorema de Pitágoras para cada segmento (5 m de comprimento, 3 m de altura), encontramos que o raio da circunferência deve ser 4 m para que o comprimento total das mangueiras seja exatamente 100 m.
B 4,87.

Alternativa B está errada porque resulta de um erro de cálculo ao aplicar o Teorema de Pitágoras ou ao dividir o comprimento total das mangueiras pelos segmentos.
C 5,00.

Alternativa C está errada pois sugere que o raio é igual ao comprimento de cada segmento, desconsiderando a altura do cone (3 m), o que não faz sentido geometricamente.
D 5,83.

Alternativa D está errada porque superestima o valor do raio, provavelmente ignorando a relação entre altura e comprimento do segmento.
E 6,26.

Alternativa E está errada pois apresenta o valor do comprimento da circunferência para raio 1, confundindo o conceito de raio com o de comprimento total da base.

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1. O que caracteriza um cone na geometria espacial?: Um cone é um sólido formado por uma base circular e uma superfície lateral que converge para um vértice fora do plano da base.
2. Como se calcula o comprimento de cada segmento de mangueira nesse problema?: Divide-se o comprimento total disponível pelo número de segmentos: \( \frac{100}{20} = 5 \) m.
3. Qual relação matemática é usada para relacionar altura, raio e geratriz de um cone?: Usa-se o Teorema de Pitágoras: \( g^2 = h^2 + r^2 \), onde g é a geratriz, h a altura e r o raio.
4. O que significa dividir a circunferência em 20 arcos iguais?: Significa que os pontos de fixação das mangueiras estão igualmente espaçados ao longo da circunferência da base.
5. Por que não se pode igualar o raio ao comprimento de cada segmento?: Porque cada segmento forma a hipotenusa de um triângulo retângulo com a altura do cone, não sendo igual ao raio.
6. Como o Teorema de Pitágoras se aplica neste contexto?: Ele relaciona a altura do cone, o raio da base e o comprimento de cada segmento (geratriz) para formar um triângulo retângulo.
7. O que aconteceria se o raio fosse maior que 4 m neste problema?: O comprimento de cada segmento seria maior que 5 m, ultrapassando o total de 100 m de mangueira disponível.

Questão 172 — No período de fim de ano, o síndico de um condomínio resolveu colocar, em um poste, uma iluminação natalina em formato de cone, lembrando uma árvore…

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