O que é um anagrama?

Anagrama é uma nova palavra ou frase formada pela reorganização das letras de outra palavra ou frase.

Como calcular o número de anagramas de uma palavra com letras repetidas?

Divide-se o fatorial do número total de letras pelo produto dos fatoriais das quantidades de cada letra repetida: \frac{n!}{a!b!...}.

O que significa intercalação de vogais e consoantes em um anagrama?

Significa que, ao formar o anagrama, as vogais e consoantes devem aparecer alternadamente, sem que duas vogais ou duas consoantes fiquem juntas.

Como identificar se é possível alternar vogais e consoantes em uma palavra?

É possível se a diferença entre o número de vogais e consoantes for no máximo 1, e a sequência deve começar pela letra que aparece em maior quantidade.

Por que é necessário dividir por 2! ao calcular anagramas com duas letras T?

Porque as letras T são indistinguíveis, então as permutações entre elas não geram novos anagramas distintos.

Qual é a fórmula para permutar n objetos, sendo que alguns se repetem?

A fórmula é \frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!}, onde p_i é o número de repetições de cada objeto.

Como calcular o número de formas de distribuir vogais e consoantes alternadamente em uma palavra?

Primeiro, determina-se as posições possíveis para cada grupo (vogais/consoantes), depois permuta-se cada grupo separadamente e multiplica-se os resultados.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 163 — Nos livros _Harry Potter_, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”. Suponha que Harry quisesse for…

ENEM 2020 Questão 163

Nos livros _Harry Potter_, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”. Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.

Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por

Resolução

Resposta correta: Letra E

A questão trata de anagramas, especificamente da frase 'I AM POTTER', com a condição de que vogais e consoantes estejam sempre intercaladas. Para resolver, é necessário identificar as vogais e consoantes, analisar as possíveis posições e calcular o número de anagramas respeitando a restrição de intercalação. Primeiro, identificamos as letras: I, A, O, E são vogais; M, P, T, T, R são consoantes. São 4 vogais e 5 consoantes, totalizando 9 letras. Como as vogais e consoantes devem se alternar, a única forma possível é começar e terminar com consoante (pois há mais consoantes). Assim, a sequência será C V C V C V C V C (C=consoante, V=vogal). Calcula-se o número de maneiras de permutar as consoantes (5! considerando o T repetido: \frac{5!}{2!}), permutar as vogais (4!), e multiplicar ambos. Portanto, o total é: \frac{5!}{2!} \times 4! = 60 \times 24 = 1440 anagramas.

Comentários por alternativa

A

A alternativa A está incorreta porque não considera corretamente a intercalação entre vogais e consoantes ou não faz o ajuste para letras repetidas.
B

A alternativa B está errada pois provavelmente ignora a restrição de intercalação ou o ajuste para a repetição da letra T.
C

A alternativa C não está correta, pois não leva em conta a distribuição correta das vogais e consoantes nas posições alternadas.
D

A alternativa D está incorreta, pois não faz o ajuste necessário para as letras repetidas ou para a intercalação exigida.
E

A alternativa E está correta porque considera a intercalação obrigatória, a quantidade de vogais e consoantes, e ajusta para a repetição da letra T, usando a fórmula $\frac{5!}{2!} \times 4$!.

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1. O que é um anagrama?: Anagrama é uma nova palavra ou frase formada pela reorganização das letras de outra palavra ou frase.
2. Como calcular o número de anagramas de uma palavra com letras repetidas?: Divide-se o fatorial do número total de letras pelo produto dos fatoriais das quantidades de cada letra repetida: \frac{n!}{a!b!...}.
3. O que significa intercalação de vogais e consoantes em um anagrama?: Significa que, ao formar o anagrama, as vogais e consoantes devem aparecer alternadamente, sem que duas vogais ou duas consoantes fiquem juntas.
4. Como identificar se é possível alternar vogais e consoantes em uma palavra?: É possível se a diferença entre o número de vogais e consoantes for no máximo 1, e a sequência deve começar pela letra que aparece em maior quantidade.
5. Por que é necessário dividir por 2! ao calcular anagramas com duas letras T?: Porque as letras T são indistinguíveis, então as permutações entre elas não geram novos anagramas distintos.
6. Qual é a fórmula para permutar n objetos, sendo que alguns se repetem?: A fórmula é \frac{n!}{p_1!p_2!...p_k!}, onde p_i é o número de repetições de cada objeto.
7. Como calcular o número de formas de distribuir vogais e consoantes alternadamente em uma palavra?: Primeiro, determina-se as posições possíveis para cada grupo (vogais/consoantes), depois permuta-se cada grupo separadamente e multiplica-se os resultados.

Questão 163 — Nos livros _Harry Potter_, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”. Suponha que Harry quisesse for…

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