O que caracteriza um experimento binomial?

Um experimento binomial tem número fixo de tentativas, eventos independentes e apenas dois resultados possíveis em cada tentativa (sucesso ou fracasso).

Como se calcula a probabilidade de pelo menos um sucesso em n tentativas independentes?

Calcula-se pela fórmula: 1 menos a probabilidade de nenhum sucesso, ou seja, $1 - (1-p)^n$, onde p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Qual a probabilidade de errar todos os lançamentos se a chance de acerto é $\frac{1}{2}$?

A probabilidade de errar todos é $\left(\frac{1}{2}\right)^n$, sendo n o número de lançamentos.

Por que usamos a inequação $\left(\frac{1}{2}\right)^n \leq \frac{1}{10}$ na resolução?

Porque queremos que a probabilidade de errar todos os dardos seja menor ou igual a 10%, garantindo pelo menos 90% de chance de acerto.

Como determinar o menor valor inteiro de n que satisfaz uma inequação exponencial?

Testa-se valores inteiros de n até encontrar o menor que torne a inequação verdadeira.

O que significa eventos independentes em probabilidade?

Significa que o resultado de um evento não influencia o resultado dos demais.

Se a probabilidade de acerto fosse $\frac{1}{3}$, como mudaria o cálculo?

A fórmula seria $1 - (1-\frac{1}{3})^n = 1 - (\frac{2}{3})^n$, e n seria ajustado para satisfazer a nova condição de probabilidade.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 142 — O organizador de uma competição de lançamento de dados pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada,…

ENEM 2021 Questão 142

O organizador de uma competição de lançamento de dados pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores tem, em cada lançamento, $\frac{1}{2}$ de probabilidade de acertar um dardo no alvo. A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a $\frac{9}{10}$. Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada.

Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é

Resolução

Resposta correta: Letra B — 4

A questão aborda probabilidade em experimentos binomiais, onde cada lançamento de dardo é um evento independente com probabilidade de acerto de $\frac{1}{2}$. O objetivo é encontrar o número mínimo de dardos (n) para que a probabilidade de acertar pelo menos um seja $\geq \frac{9}{10}$. O raciocínio começa calculando a probabilidade de errar todos os lançamentos: $P(\text{errar todos}) = \left(\frac{1}{2}\right)^n$. Assim, a probabilidade de acertar pelo menos um é $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$. Montando a inequação: $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \geq \frac{9}{10}$, temos $\left(\frac{1}{2}\right)^n \leq \frac{1}{10}$. Testando valores inteiros para n, vemos que para n=4, $\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \approx 0,0625$, que é menor que $0,1$. Portanto, o número mínimo de dardos é 4.

Comentários por alternativa

A 2

A alternativa A (2 dardos) está errada porque $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 0,25$, resultando em probabilidade de acerto de 0,75, inferior a $\frac{9}{10}$.
B 4

A alternativa B (4 dardos) está correta, pois $\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} = 0,0625$, garantindo probabilidade de acerto de pelo menos um dardo igual a 0,9375, que é maior que $\frac{9}{10}$.
C 6

A alternativa C (6 dardos) está errada, pois, embora satisfaça a condição, não é o valor mínimo; 4 dardos já são suficientes.
D 9

A alternativa D (9 dardos) está errada porque é um valor maior que o necessário, não sendo o mínimo pedido pela questão.
E 10

A alternativa E (10 dardos) também está errada pelo mesmo motivo: é um valor superior ao mínimo necessário para atingir a probabilidade desejada.

Flashcards

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1. O que caracteriza um experimento binomial?: Um experimento binomial tem número fixo de tentativas, eventos independentes e apenas dois resultados possíveis em cada tentativa (sucesso ou fracasso).
2. Como se calcula a probabilidade de pelo menos um sucesso em n tentativas independentes?: Calcula-se pela fórmula: 1 menos a probabilidade de nenhum sucesso, ou seja, $1 - (1-p)^n$, onde p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
3. Qual a probabilidade de errar todos os lançamentos se a chance de acerto é $\frac{1}{2}$?: A probabilidade de errar todos é $\left(\frac{1}{2}\right)^n$, sendo n o número de lançamentos.
4. Por que usamos a inequação $\left(\frac{1}{2}\right)^n \leq \frac{1}{10}$ na resolução?: Porque queremos que a probabilidade de errar todos os dardos seja menor ou igual a 10%, garantindo pelo menos 90% de chance de acerto.
5. Como determinar o menor valor inteiro de n que satisfaz uma inequação exponencial?: Testa-se valores inteiros de n até encontrar o menor que torne a inequação verdadeira.
6. O que significa eventos independentes em probabilidade?: Significa que o resultado de um evento não influencia o resultado dos demais.
7. Se a probabilidade de acerto fosse $\frac{1}{3}$, como mudaria o cálculo?: A fórmula seria $1 - (1-\frac{1}{3})^n = 1 - (\frac{2}{3})^n$, e n seria ajustado para satisfazer a nova condição de probabilidade.

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