O que significa combinação simples em análise combinatória?

Combinação simples é a contagem de subconjuntos de um conjunto, sem considerar a ordem dos elementos.

Qual a fórmula para calcular o número de combinações de n elementos tomados k a k?

A fórmula é $C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Quando usar permutação e quando usar combinação?

Usa-se permutação quando a ordem importa e combinação quando a ordem não importa.

Como calcular o número de maneiras de parear dois conjuntos de dois elementos cada?

Há $2! = 2$ maneiras de parear dois elementos de um conjunto com dois de outro.

Por que não se deve considerar a ordem dos veículos dentro de cada estande nesta questão?

Porque o enunciado afirma que a posição dos carros dentro do estande é irrelevante.

O que significa 'modelos distintos' e 'cores diferentes' para análise combinatória?

Significa que todos os carros compactos e caminhonetes são individualmente identificáveis e não podem ser repetidos.

Qual o papel do fatorial (!) em análise combinatória?

O fatorial representa o número de maneiras de ordenar um conjunto de elementos distintos.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 165

ENEM 2018 Questão 165

O Salão do Automóvel de São Paulo é um evento no qual vários fabricantes expõem seus modelos mais recentes de veículos, mostrando, principalmente, suas inovações em design e tecnologia. Uma montadora pretende participar desse evento com dois estandes, um na entrada e outro na região central do salão, expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma caminhonete. Para compor os estandes, foram disponibilizados pela montadora quatro carros compactos, de modelos distintos, e seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos aqueles que serão expostos. A posição dos carros dentro de cada estande é irrelevante.

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 4 fev. 2015 (adaptado).

Uma expressão que fornece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser compostos é

Resolução

A questão trata de análise combinatória, mais especificamente de contagem de maneiras de escolher e distribuir itens distintos em grupos. O problema pede para determinar uma expressão que represente o número de formas de montar dois estandes, cada um com um carro compacto e uma caminhonete, a partir de 4 carros compactos (modelos distintos) e 6 caminhonetes (cores diferentes). Como não pode haver repetição de veículos entre os estandes (cada veículo só pode ser exposto uma vez), precisamos escolher 2 carros compactos distintos entre 4 e 2 caminhonetes distintas entre 6, e depois distribuir cada par (compacto + caminhonete) em cada estande. Como a posição dos carros dentro de cada estande é irrelevante, mas a distribuição entre os estandes importa (pois são dois estandes diferentes), devemos considerar as permutações entre os pares formados. O raciocínio é: (1) escolher 2 carros compactos entre 4: $C_{4,2} = \frac{4!}{2!2!}$; (2) escolher 2 caminhonetes entre 6: $C_{6,2} = \frac{6!}{2!4!}$; (3) formar os pares (cada estande recebe um compacto e uma caminhonete): há 2! = 2 formas de parear os compactos com as caminhonetes. Portanto, a expressão correta é $C_{4,2} \cdot C_{6,2} \cdot 2!$.

Comentários por alternativa

A

A alternativa A está errada porque provavelmente não considera corretamente a formação dos pares ou ignora a ordem de distribuição dos pares entre os estandes.
B

A alternativa B está incorreta pois pode ter desconsiderado o pareamento entre os carros compactos e as caminhonetes, ou não multiplicou pelo número de formas de distribuir os pares entre os estandes.
C

A alternativa C está correta porque representa exatamente o processo: escolher 2 compactos entre 4 ($C_{4,2}$), 2 caminhonetes entre 6 ($C_{6,2}$) e parear cada compacto com uma caminhonete de 2 formas ($2!$), resultando na expressão $C_{4,2} \cdot C_{6,2} \cdot 2!$.
D

A alternativa D está errada pois provavelmente não considerou o pareamento ou usou permutação ao invés de combinação, ou esqueceu de multiplicar pelo número de formas de parear os veículos.
E

A alternativa E está incorreta porque pode ter considerado a ordem dos veículos dentro dos estandes (o que é irrelevante) ou não considerou corretamente a escolha dos pares.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que significa combinação simples em análise combinatória?: Combinação simples é a contagem de subconjuntos de um conjunto, sem considerar a ordem dos elementos.
2. Qual a fórmula para calcular o número de combinações de n elementos tomados k a k?: A fórmula é $C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
3. Quando usar permutação e quando usar combinação?: Usa-se permutação quando a ordem importa e combinação quando a ordem não importa.
4. Como calcular o número de maneiras de parear dois conjuntos de dois elementos cada?: Há $2! = 2$ maneiras de parear dois elementos de um conjunto com dois de outro.
5. Por que não se deve considerar a ordem dos veículos dentro de cada estande nesta questão?: Porque o enunciado afirma que a posição dos carros dentro do estande é irrelevante.
6. O que significa 'modelos distintos' e 'cores diferentes' para análise combinatória?: Significa que todos os carros compactos e caminhonetes são individualmente identificáveis e não podem ser repetidos.
7. Qual o papel do fatorial (!) em análise combinatória?: O fatorial representa o número de maneiras de ordenar um conjunto de elementos distintos.