O que é média aritmética simples?

É a soma de todos os valores dividida pelo número de elementos do conjunto.

Como se calcula a soma total de um conjunto a partir da média?

Multiplica-se a média pelo número de elementos: soma = média × quantidade.

Por que substituir elementos de um conjunto pode alterar sua média?

Porque a média depende dos valores individuais; trocar valores baixos por altos aumenta a média.

Como determinar a média mínima necessária de novos elementos para atingir uma média alvo?

Calcula-se a soma mínima total desejada, subtrai-se a soma dos elementos já conhecidos e divide-se o restante pelo número de novos elementos.

Qual a importância de trabalhar com desigualdades em problemas de média mínima?

Desigualdades garantem que a condição de média seja atendida, mesmo quando o valor exato não é possível ou desejado.

O que significa 'no mínimo' em um problema de média?

Significa que a média deve ser igual ou superior ao valor especificado, não podendo ser menor.

Como a substituição de múltiplos elementos afeta o cálculo da média em um grupo?

A substituição exige recalcular a soma total, considerando as saídas e entradas, para então dividir pelo novo total de elementos.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 165 — O técnico de um time de basquete pretende aumentar a estatura média de sua equipe de 1,93 m para, no mínimo, 1,99 m. Para tanto, dentre os 15 jogador…

ENEM 2020 Questão 165

O técnico de um time de basquete pretende aumentar a estatura média de sua equipe de 1,93 m para, no mínimo, 1,99 m. Para tanto, dentre os 15 jogadores que fazem parte de sua equipe, irá substituir os quatro mais baixos, de estaturas: 1,78 m, 1,82 m, 1,84 m e 1,86 m. Para isso, o técnico contratou um novo jogador de 2,02 m. Os outros três jogadores que ele ainda precisa contratar devem satisfazer à sua necessidade de aumentar a média das estaturas da equipe. Ele fixará a média das estaturas para os três jogadores que ainda precisa contratar dentro do critério inicialmente estabelecido.

Qual deverá ser a média mínima das estaturas, em metro, que ele deverá fixar para o grupo de três novos jogadores que ainda irá contratar?

Resolução

Resposta correta: Letra D — 2,06

A questão aborda o conceito de média aritmética e manipulação de conjuntos numéricos para atingir uma média desejada. O técnico deseja aumentar a média de altura dos jogadores do time de 1,93 m para pelo menos 1,99 m, substituindo os quatro jogadores mais baixos por outros mais altos. O problema exige calcular a média mínima das alturas dos três novos jogadores (além de um já contratado de 2,02 m) para que a média final da equipe atinja o objetivo. O passo a passo envolve: 1) calcular a soma total das alturas atuais; 2) subtrair as alturas dos quatro mais baixos; 3) adicionar a altura do novo jogador já contratado; 4) definir a soma mínima necessária para os três novos jogadores restantes, de modo que a média dos 15 atinja 1,99 m; 5) dividir essa soma por 3 para encontrar a média mínima exigida. O cálculo detalhado é: soma inicial = $1,93 \times 15 = 28,95$ m; soma dos quatro mais baixos = $1,78 + 1,82 + 1,84 + 1,86 = 7,30$ m; soma dos 11 que permanecem = $28,95 - 7,30 = 21,65$ m. Para a nova média: $\frac{21,65 + 2,02 + x}{15} \geq 1,99$, onde $x$ é a soma das alturas dos três novos jogadores. Resolvendo: $21,65 + 2,02 + x \geq 1,99 \times 15 = 29,85$; $x \geq 29,85 - 23,67 = 6,18$; média mínima = $\frac{6,18}{3} = 2,06$ m. Portanto, a alternativa correta é D.

Comentários por alternativa

A 1,96

A alternativa A (1,96) está incorreta, pois essa média não é suficiente para elevar a média do time para 1,99 m. O cálculo mostra que é necessário um valor maior.
B 1,98

A alternativa B (1,98) também é insuficiente, pois, mesmo com essa média, a soma total das alturas não atingiria o mínimo necessário para a nova média desejada.
C 2,05

A alternativa C (2,05) está próxima, mas ainda não atinge exatamente o valor mínimo calculado (2,06 m). Portanto, não garante o critério estabelecido.
D 2,06

A alternativa D (2,06) está correta, pois, conforme o cálculo detalhado, essa é a média mínima exigida para os três novos jogadores, garantindo que a média final da equipe seja de pelo menos 1,99 m.
E 2,08

A alternativa E (2,08) está acima do valor mínimo necessário, ou seja, é suficiente, mas não representa o menor valor possível, como pede o enunciado.

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1. O que é média aritmética simples?: É a soma de todos os valores dividida pelo número de elementos do conjunto.
2. Como se calcula a soma total de um conjunto a partir da média?: Multiplica-se a média pelo número de elementos: soma = média × quantidade.
3. Por que substituir elementos de um conjunto pode alterar sua média?: Porque a média depende dos valores individuais; trocar valores baixos por altos aumenta a média.
4. Como determinar a média mínima necessária de novos elementos para atingir uma média alvo?: Calcula-se a soma mínima total desejada, subtrai-se a soma dos elementos já conhecidos e divide-se o restante pelo número de novos elementos.
5. Qual a importância de trabalhar com desigualdades em problemas de média mínima?: Desigualdades garantem que a condição de média seja atendida, mesmo quando o valor exato não é possível ou desejado.
6. O que significa 'no mínimo' em um problema de média?: Significa que a média deve ser igual ou superior ao valor especificado, não podendo ser menor.
7. Como a substituição de múltiplos elementos afeta o cálculo da média em um grupo?: A substituição exige recalcular a soma total, considerando as saídas e entradas, para então dividir pelo novo total de elementos.

Questão 165 — O técnico de um time de basquete pretende aumentar a estatura média de sua equipe de 1,93 m para, no mínimo, 1,99 m. Para tanto, dentre os 15 jogador…

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