O que é um lugar geométrico em geometria analítica?

É o conjunto de todos os pontos do plano que satisfazem uma determinada condição geométrica.

Qual é a equação da circunferência de centro (a, b) e raio r?

A equação é \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\).

Como se determina a distância entre dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2)?

Usa-se a fórmula \(\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\).

O que caracteriza os pontos cuja distância a A é k vezes a distância a B?

Esses pontos formam uma circunferência, exceto quando k = 1, caso em que formam a mediatriz do segmento AB.

Como encontrar o diâmetro de uma circunferência dada sua equação?

O diâmetro é o dobro do raio, que pode ser identificado na equação padrão da circunferência.

Por que elevar ambos os lados da equação da distância ao quadrado facilita a resolução?

Elimina as raízes e permite manipular algebricamente para encontrar a equação do lugar geométrico.

Qual é a relação entre a distância máxima entre dois pontos de uma circunferência e seu diâmetro?

A distância máxima é igual ao diâmetro da circunferência.

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Questão 161

ENEM 2018 Questão 161

Para apagar os focos A e B de um incêndio, que estavam a uma distância de 30m um do outro, os bombeiros de um quartel decidiram se posicionar de modo que a distância de um bombeiro ao foco A, de temperatura mais elevada, fosse sempre o dobro da distância desse bombeiro ao foco B, de temperatura menos elevada.

Nestas condições, a maior distância, em metro, que dois bombeiros poderiam ter entre eles é

Resolução

A questão trata de geometria analítica, especificamente do lugar geométrico dos pontos cuja distância a um ponto fixo (A) é o dobro da distância a outro ponto fixo (B). Esse lugar geométrico é uma circunferência. Dado que A e B estão separados por 30 m, devemos determinar a maior distância possível entre dois bombeiros posicionados de modo que a distância de cada um ao foco A seja sempre o dobro da distância ao foco B. Para resolver, colocamos A na origem (0,0) e B em (30,0). Seja P(x, y) o ponto onde está o bombeiro. A condição é: distância de P a A = 2 × distância de P a B. Usando a fórmula da distância entre pontos, temos: \(\sqrt{x^2 + y^2} = 2 \sqrt{(x-30)^2 + y^2}\). Elevando ambos os lados ao quadrado e isolando termos, obtemos a equação de uma circunferência. Calculando o diâmetro dessa circunferência, achamos a maior distância possível entre dois bombeiros, que é o diâmetro: 40 m.

Comentários por alternativa

A 30.

A alternativa A (30 m) corresponde à distância entre os focos, não ao maior afastamento possível entre dois bombeiros sob a condição dada.
B 40.

A alternativa B (40 m) está correta, pois corresponde ao diâmetro da circunferência-lugar geométrico dos pontos cuja distância a A é o dobro da distância a B, considerando a separação de 30 m entre os focos.
C 45.

A alternativa C (45 m) é um valor maior que o diâmetro real da circunferência, superestimando a distância máxima possível.
D 60.

A alternativa D (60 m) é o dobro da distância entre os focos, mas não corresponde ao diâmetro da circunferência-lugar geométrico.
E 68.

A alternativa E (68 m) é um valor muito acima do possível, não relacionado ao problema geométrico apresentado.

Flashcards

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1. O que é um lugar geométrico em geometria analítica?: É o conjunto de todos os pontos do plano que satisfazem uma determinada condição geométrica.
2. Qual é a equação da circunferência de centro (a, b) e raio r?: A equação é \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\).
3. Como se determina a distância entre dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2)?: Usa-se a fórmula \(\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\).
4. O que caracteriza os pontos cuja distância a A é k vezes a distância a B?: Esses pontos formam uma circunferência, exceto quando k = 1, caso em que formam a mediatriz do segmento AB.
5. Como encontrar o diâmetro de uma circunferência dada sua equação?: O diâmetro é o dobro do raio, que pode ser identificado na equação padrão da circunferência.
6. Por que elevar ambos os lados da equação da distância ao quadrado facilita a resolução?: Elimina as raízes e permite manipular algebricamente para encontrar a equação do lugar geométrico.
7. Qual é a relação entre a distância máxima entre dois pontos de uma circunferência e seu diâmetro?: A distância máxima é igual ao diâmetro da circunferência.