O que significa divisão inversamente proporcional?

Significa que quanto maior o valor de uma grandeza, menor será a parte recebida, e vice-versa.

Como se calcula a soma dos inversos de 2, 3 e 5?

Soma-se $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{31}{30} $.

Qual a fração do total que cabe à máquina de 5 anos?

É $ \frac{\frac{1}{5}}{\frac{31}{30}} = \frac{6}{31} $ do total.

Razão é a comparação entre dois valores por meio de uma divisão.

Quando se usa divisão inversamente proporcional em problemas?

Quando a distribuição de um valor deve ser feita de modo que quem tem mais de uma grandeza receba menos da outra.

Como transformar uma divisão inversa em fração do total?

Divide-se o inverso da grandeza de interesse pela soma dos inversos de todas as grandezas.

Por que a máquina mais velha recebe menos?

Porque o valor é inversamente proporcional à idade: quanto maior a idade, menor o valor recebido.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 152

ENEM 2019 Questão 152

Para contratar três máquinas que farão o reparo de vias rurais de um município, a prefeitura elaborou um edital que, entre outras cláusulas, previa: • Cada empresa interessada só pode cadastrar uma única máquina para concorrer ao edital; • O total de recursos destinados para contratar o conjunto das três máquinas é de R$ 31 000,00; • O valor a ser pago a cada empresa será inversamente proporcional à idade de uso da máquina cadastrada pela empresa para o presente edital. As três empresas vencedoras do edital cadastraram máquinas com 2, 3 e 5 anos de idade de uso.

Quanto receberá a empresa que cadastrou a máquina com maior idade de uso?

Resolução

A questão trata de divisão de valores de forma inversamente proporcional à idade das máquinas cadastradas por três empresas. Os conceitos necessários são: proporcionalidade inversa, soma de partes proporcionais e manipulação algébrica de frações. O raciocínio é: se os valores pagos são inversamente proporcionais às idades (2, 3 e 5 anos), então, para cada empresa, o valor recebido será proporcional a $ \frac{1}{2} $, $ \frac{1}{3} $ e $ \frac{1}{5} $, respectivamente. Para encontrar quanto cada uma recebe, soma-se os inversos: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15 + 10 + 6}{30} = \frac{31}{30} $. O total de R$ 31.000,00 será dividido proporcionalmente a esses valores. Para a máquina de 5 anos (maior idade), o valor proporcional é $ \frac{1}{5} $. Calcula-se a fração correspondente: $ \frac{\frac{1}{5}}{\frac{31}{30}} = \frac{30}{155} = \frac{6}{31} $. Multiplicando pelo total: $ \frac{6}{31} \times 31.000 = 6.000 $. Portanto, a empresa com a máquina mais velha recebe R$ 6.000,00.

Comentários por alternativa

A R$ 3.100,00

A alternativa A (R$ 3.100,00) está incorreta porque representa apenas 1/10 do total, não corresponde à fração correta da divisão inversamente proporcional.
B R$ 6.000,00

A alternativa B (R$ 6.000,00) está correta, pois corresponde ao valor proporcional à máquina de 5 anos, calculado como $ \frac{6}{31} \times 31.000 = 6.000 $.
C R$ 6.200,00

A alternativa C (R$ 6.200,00) está errada, pois o cálculo correto da fração inversa não resulta nesse valor.
D R$ 15.000,00

A alternativa D (R$ 15.000,00) está errada, pois representa quase metade do total, incompatível com a lógica da divisão inversamente proporcional à maior idade.
E R$ 15.500,00

A alternativa E (R$ 15.500,00) está incorreta, pois excede a metade do valor total e não condiz com a proporção inversa à idade da máquina mais velha.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que significa divisão inversamente proporcional?: Significa que quanto maior o valor de uma grandeza, menor será a parte recebida, e vice-versa.
2. Como se calcula a soma dos inversos de 2, 3 e 5?: Soma-se $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{31}{30} $.
3. Qual a fração do total que cabe à máquina de 5 anos?: É $ \frac{\frac{1}{5}}{\frac{31}{30}} = \frac{6}{31} $ do total.
4. O que é uma razão?: Razão é a comparação entre dois valores por meio de uma divisão.
5. Quando se usa divisão inversamente proporcional em problemas?: Quando a distribuição de um valor deve ser feita de modo que quem tem mais de uma grandeza receba menos da outra.
6. Como transformar uma divisão inversa em fração do total?: Divide-se o inverso da grandeza de interesse pela soma dos inversos de todas as grandezas.
7. Por que a máquina mais velha recebe menos?: Porque o valor é inversamente proporcional à idade: quanto maior a idade, menor o valor recebido.