O que significa dividir um valor de forma proporcional ao investimento?

Significa que cada participante recebe uma fração do valor total correspondente à fração do investimento que realizou em relação ao total investido.

Como calcular a porcentagem de participação de um sócio em um investimento total?

Divide-se o valor investido pelo sócio pelo total investido e multiplica-se o resultado por 100.

Qual a fórmula para divisão proporcional entre n pessoas?

Cada pessoa recebe $ \frac{a_i}{\sum a_i} \times V $, onde $ a_i $ é o valor investido por ela e V é o valor total a ser dividido.

Por que não se pode dividir igualmente o valor entre os sócios neste caso?

Porque os valores investidos por cada sócio foram diferentes, então a divisão justa deve ser proporcional ao investimento de cada um.

O que é uma sociedade empresarial sob o ponto de vista matemático?

É uma associação de pessoas que investem capital e, geralmente, dividem lucros e prejuízos proporcionalmente ao aporte de cada um.

Como calcular a fração de um sócio após novos aportes de capital?

Soma-se o valor total investido por ele em todas as etapas e divide-se pelo total geral investido por todos os sócios.

Se um sócio entra depois, como isso afeta sua participação nos lucros?

Sua participação será proporcional apenas ao valor que ele investiu em relação ao total acumulado, podendo ser menor que a dos sócios iniciais.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 151

ENEM 2019 Questão 151

Três sócios resolveram fundar uma fábrica. O investimento inicial foi de R$ 1 000 000,00. E, independentemente do valor que cada um investiu nesse primeiro momento, resolveram considerar que cada um deles contribuiu com um terço do investimento inicial. Algum tempo depois, um quarto sócio entrou para a sociedade, e os quatro, juntos, investiram mais R$ 800 000,00 na fábrica. Cada um deles contribuiu com um quarto desse valor. Quando venderam a fábrica, nenhum outro investimento havia sido feito. Os sócios decidiram então dividir o montante de R$ 1 800 000,00 obtido com a venda, de modo proporcional à quantia total investida por cada sócio.

Quais os valores mais próximos, em porcentagens, correspondentes às parcelas financeiras que cada um dos més sócios iniciais e o quarto sócio, respectivamente, receberam?

Resolução

A questão aborda divisão proporcional de valores em uma sociedade empresarial, tema clássico de matemática financeira e raciocínio lógico. Inicialmente, três sócios investem juntos R$ 1.000.000,00, cada um sendo considerado responsável por um terço desse valor, ou seja, R$ 333.333,33 cada. Posteriormente, um quarto sócio entra e, junto com os outros três, investem mais R$ 800.000,00, cada um contribuindo com um quarto desse valor, ou seja, R$ 200.000,00 cada. Assim, cada sócio inicial investiu no total R$ 333.333,33 + R$ 200.000,00 = R$ 533.333,33, enquanto o quarto sócio investiu apenas R$ 200.000,00. O total investido na fábrica foi R$ 1.600.000,00. Quando a fábrica é vendida por R$ 1.800.000,00, a divisão do valor deve ser proporcional ao investimento total de cada sócio. Calculando a fração de cada sócio sobre o total investido: cada sócio inicial tem $ \frac{533.333,33}{1.600.000,00} \approx 0,3333 $ (ou 33,33%) e o quarto sócio $ \frac{200.000,00}{1.600.000,00} = 0,125 $ (ou 12,5%). Como são três sócios iniciais, juntos eles detêm $ 3 \times 0,3333 = 1,0 $ (mas isso seria se não houvesse o quarto sócio). Para encontrar a porcentagem do valor recebido por cada sócio na divisão dos R$ 1.800.000,00, calculamos: cada sócio inicial recebe $ \frac{533.333,33}{1.600.000,00} \times 100 \approx 33,33\% $ do total investido, mas, como o valor a ser dividido é R$ 1.800.000,00, multiplicamos essa fração pelo valor total: $ 0,3333 \times 1.800.000 = 600.000 $ para cada sócio inicial e $ 0,125 \times 1.800.000 = 225.000 $ para o quarto sócio. Para encontrar a porcentagem de cada um sobre o total de R$ 1.800.000,00: sócio inicial $ \frac{600.000}{1.800.000} \times 100 = 33,33\% $, quarto sócio $ \frac{225.000}{1.800.000} \times 100 = 12,5\% $. Porém, os valores mais próximos nas alternativas são 29,60% para cada sócio inicial e 11,11% para o quarto sócio, pois o investimento total considerado foi R$ 3 \times 533.333,33 + 200.000 = R$ 1.800.000,00, e não R$ 1.600.000,00. Assim, cada sócio inicial investiu R$ 533.333,33 de R$ 1.800.000,00, que é $ \frac{533.333,33}{1.800.000} \times 100 \approx 29,63\% $, e o quarto sócio $ \frac{200.000}{1.800.000} \times 100 \approx 11,11\% $, conferindo com a alternativa A.

Comentários por alternativa

A 29,60 e 11,11.

Alternativa A está correta. Ela apresenta os valores mais próximos das porcentagens reais: cada sócio inicial recebe cerca de 29,60% e o quarto sócio, 11,11% do valor da venda, calculados a partir da divisão proporcional ao investimento total de cada um sobre o montante de R$ 1.800.000,00.
B 28,70 e 13,89.

Alternativa B está errada porque superestima a porcentagem do quarto sócio (13,89%) e subestima a dos sócios iniciais (28,70%), não refletindo a divisão proporcional correta dos investimentos.
C 25,00 e 25,00.

Alternativa C está errada pois sugere uma divisão igualitária (25% para cada), desconsiderando o fato de que os sócios iniciais investiram mais que o quarto sócio.
D 18,52 e 11,11.

Alternativa D está incorreta porque atribui valores muito baixos aos sócios iniciais (18,52%) e ao quarto sócio (11,11%), incompatíveis com os cálculos proporcionais ao investimento.
E 12,96 e 13,89.

Alternativa E está errada pois inverte os percentuais e apresenta valores que não correspondem à divisão proporcional correta dos investimentos realizados.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que significa dividir um valor de forma proporcional ao investimento?: Significa que cada participante recebe uma fração do valor total correspondente à fração do investimento que realizou em relação ao total investido.
2. Como calcular a porcentagem de participação de um sócio em um investimento total?: Divide-se o valor investido pelo sócio pelo total investido e multiplica-se o resultado por 100.
3. Qual a fórmula para divisão proporcional entre n pessoas?: Cada pessoa recebe $ \frac{a_i}{\sum a_i} \times V $, onde $ a_i $ é o valor investido por ela e V é o valor total a ser dividido.
4. Por que não se pode dividir igualmente o valor entre os sócios neste caso?: Porque os valores investidos por cada sócio foram diferentes, então a divisão justa deve ser proporcional ao investimento de cada um.
5. O que é uma sociedade empresarial sob o ponto de vista matemático?: É uma associação de pessoas que investem capital e, geralmente, dividem lucros e prejuízos proporcionalmente ao aporte de cada um.
6. Como calcular a fração de um sócio após novos aportes de capital?: Soma-se o valor total investido por ele em todas as etapas e divide-se pelo total geral investido por todos os sócios.
7. Se um sócio entra depois, como isso afeta sua participação nos lucros?: Sua participação será proporcional apenas ao valor que ele investiu em relação ao total acumulado, podendo ser menor que a dos sócios iniciais.