O que significa retirar bolas sem reposição em um experimento de probabilidade?

Significa que, após retirar uma bola, ela não é devolvida à urna, alterando as probabilidades dos próximos sorteios.

Como se calcula a probabilidade de dois eventos sucessivos e dependentes?

Multiplica-se a probabilidade do primeiro evento pela probabilidade do segundo, considerando o novo espaço amostral.

O que é um evento composto em probabilidade?

É um evento formado pela ocorrência conjunta de dois ou mais eventos simples, podendo ser dependentes ou independentes.

Como calcular a probabilidade de retirar duas bolas pretas de uma urna com n bolas, sendo k pretas?

Multiplica-se \frac{k}{n} pela probabilidade de tirar a segunda preta, \frac{k-1}{n-1}, resultando em \frac{k}{n} \times \frac{k-1}{n-1}.

O que muda na probabilidade ao transferir uma bola de uma urna para outra antes do sorteio?

Muda a composição das urnas, alterando o número total e a quantidade de bolas de cada cor, o que afeta as probabilidades dos sorteios subsequentes.

Como se calcula a probabilidade total em experimentos com ramificações (casos condicionais)?

Usa-se a soma das probabilidades ponderadas de cada ramificação, multiplicando a chance de cada caminho pelo resultado correspondente.

Por que comparar probabilidades é essencial em questões de escolha ótima?

Porque a melhor decisão é aquela que maximiza a chance de sucesso, exigindo comparação quantitativa entre as opções.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 150

ENEM 2018 Questão 150

Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna. Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir: • Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde; • Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde; • Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes; • Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas. A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas: • Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A; • Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B; • Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A; • Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C; • Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D.

Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção

Resolução

A questão aborda probabilidade composta, envolvendo urnas com diferentes quantidades e cores de bolas. O objetivo é determinar, dentre cinco opções, qual delas oferece a maior probabilidade de retirar, sem reposição, duas bolas pretas de uma urna, considerando possíveis transferências de bolas entre urnas antes do sorteio. O raciocínio exige calcular a probabilidade de sucesso em cada alternativa, considerando todas as possibilidades de transferência e sorteio, e comparar os resultados. O conceito central é o cálculo de probabilidade em eventos dependentes e o uso da regra da multiplicação para eventos sucessivos sem reposição.

Comentários por alternativa

A 1.

Na alternativa A, a urna A possui 2 bolas pretas em 6 bolas totais. A probabilidade de tirar a primeira preta é $\frac{2}{6},$ e a segunda preta (sem reposição) é $\frac{1}{5}.$ Multiplicando: $\frac{2}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}.$ Não é a maior probabilidade.
B 2.

Na alternativa B, a urna B tem 3 pretas em 10 bolas. A chance de tirar duas pretas: $\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}.$ Igual à alternativa A, também não é a maior.
C 3.

Na alternativa C, ao transferir uma bola aleatória da urna C para a A, pode-se transferir preta ou verde. Calculando as probabilidades condicionais e somando, a probabilidade total de tirar duas pretas da nova urna A é menor que nas alternativas D e E.
D 4.

Na alternativa D, transfere-se uma bola aleatória da urna D para a C. Após o cálculo das probabilidades condicionais (transferindo branca ou preta), a chance de tirar duas pretas da nova urna C é inferior à da alternativa E.
E 5.

Na alternativa E, transfere-se uma bola da urna C para a D. Se transferir preta (probabilidade $\frac{2}{4}),$ a urna D fica com 4 pretas e 3 brancas; se transferir verde ($\frac{2}{4}),$ permanece com 3 pretas e 3 brancas. Calculando as probabilidades ponderadas: $\frac{1}{2} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{12}{42} + \frac{1}{2} \times \frac{6}{42} = \frac{6}{42} + \frac{3}{42} = \frac{9}{42} = \frac{3}{14},$ que é maior que as demais alternativas. Por isso, é a correta.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que significa retirar bolas sem reposição em um experimento de probabilidade?: Significa que, após retirar uma bola, ela não é devolvida à urna, alterando as probabilidades dos próximos sorteios.
2. Como se calcula a probabilidade de dois eventos sucessivos e dependentes?: Multiplica-se a probabilidade do primeiro evento pela probabilidade do segundo, considerando o novo espaço amostral.
3. O que é um evento composto em probabilidade?: É um evento formado pela ocorrência conjunta de dois ou mais eventos simples, podendo ser dependentes ou independentes.
4. Como calcular a probabilidade de retirar duas bolas pretas de uma urna com n bolas, sendo k pretas?: Multiplica-se \frac{k}{n} pela probabilidade de tirar a segunda preta, \frac{k-1}{n-1}, resultando em \frac{k}{n} \times \frac{k-1}{n-1}.
5. O que muda na probabilidade ao transferir uma bola de uma urna para outra antes do sorteio?: Muda a composição das urnas, alterando o número total e a quantidade de bolas de cada cor, o que afeta as probabilidades dos sorteios subsequentes.
6. Como se calcula a probabilidade total em experimentos com ramificações (casos condicionais)?: Usa-se a soma das probabilidades ponderadas de cada ramificação, multiplicando a chance de cada caminho pelo resultado correspondente.
7. Por que comparar probabilidades é essencial em questões de escolha ótima?: Porque a melhor decisão é aquela que maximiza a chance de sucesso, exigindo comparação quantitativa entre as opções.