Qual é a fórmula do volume de um cilindro?

O volume de um cilindro é dado por $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio e $h$ a altura.

Como o volume de um cilindro varia em relação ao raio?

O volume varia com o quadrado do raio, ou seja, se o raio dobra, o volume quadruplica, mantendo a altura constante.

Como isolar o raio na fórmula do volume do cilindro?

Isolando $r$, temos $r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$.

O que acontece com o volume se apenas a altura do cilindro aumenta?

O volume aumenta proporcionalmente à altura, pois $V$ é diretamente proporcional a $h$.

Por que é importante subtrair o raio inicial do novo raio ao calcular o aumento?

Porque o aumento pedido é a diferença entre o novo raio necessário e o raio original, não o valor absoluto do novo raio.

Se o volume desejado é quatro vezes maior e a altura não muda, quanto deve aumentar o raio?

O raio deve dobrar, pois $V \propto r^2$; então, para quadruplicar o volume, o raio deve ser multiplicado por 2.

Por que erros comuns ocorrem ao calcular aumentos de raio em volumes cilíndricos?

Porque muitos esquecem que o volume depende do raio ao quadrado, não de forma linear, levando a subestimações ou superestimações do aumento necessário.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 146 — Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem f…

ENEM 2015 Questão 146

Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar $81\ \text{m}^3$ de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada. Utilize 3,0 como aproximação para $\pi$.

Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado?

Resolução

Resposta correta: Letra C — 2,0

A questão aborda o cálculo do aumento necessário no raio de uma cisterna para que ela atinja um volume desejado. O conceito central é o volume do cilindro, dado por $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio e $h$ a altura. Para resolver, é preciso comparar o volume atual com o volume desejado e calcular o novo raio necessário. O aumento no raio é a diferença entre o novo raio e o raio inicial. O passo a passo envolve: 1) identificar que o volume depende do raio ao quadrado; 2) isolar o raio na fórmula do volume; 3) calcular o novo raio para o volume desejado; 4) subtrair o raio inicial do novo raio para encontrar o aumento necessário. A alternativa correta é a C, pois ela corresponde ao valor encontrado ao aplicar corretamente a fórmula.

Comentários por alternativa

A 0,5

A alternativa A (0,5 m) está incorreta porque representa um aumento pequeno demais para causar uma diferença significativa no volume, considerando que o volume depende do quadrado do raio.
B 1,0

A alternativa B (1,0 m) também é insuficiente, pois o aumento no raio ainda não proporciona o volume desejado, subestimando a relação quadrática entre raio e volume.
C 2,0

A alternativa C (2,0 m) está correta. Ao aplicar a fórmula do volume do cilindro e calcular o novo raio necessário para o volume desejado, a diferença entre o novo raio e o inicial resulta em 2,0 m.
D 3,5

A alternativa D (3,5 m) está errada porque superestima o aumento necessário, levando a um volume maior que o desejado.
E 8,0

A alternativa E (8,0 m) é um valor exagerado, que resultaria em um volume muito acima do necessário, mostrando erro de cálculo ou de interpretação da relação entre raio e volume.

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1. Qual é a fórmula do volume de um cilindro?: O volume de um cilindro é dado por $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio e $h$ a altura.
2. Como o volume de um cilindro varia em relação ao raio?: O volume varia com o quadrado do raio, ou seja, se o raio dobra, o volume quadruplica, mantendo a altura constante.
3. Como isolar o raio na fórmula do volume do cilindro?: Isolando $r$, temos $r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$.
4. O que acontece com o volume se apenas a altura do cilindro aumenta?: O volume aumenta proporcionalmente à altura, pois $V$ é diretamente proporcional a $h$.
5. Por que é importante subtrair o raio inicial do novo raio ao calcular o aumento?: Porque o aumento pedido é a diferença entre o novo raio necessário e o raio original, não o valor absoluto do novo raio.
6. Se o volume desejado é quatro vezes maior e a altura não muda, quanto deve aumentar o raio?: O raio deve dobrar, pois $V \propto r^2$; então, para quadruplicar o volume, o raio deve ser multiplicado por 2.
7. Por que erros comuns ocorrem ao calcular aumentos de raio em volumes cilíndricos?: Porque muitos esquecem que o volume depende do raio ao quadrado, não de forma linear, levando a subestimações ou superestimações do aumento necessário.

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