Questão 45 — Sobre dois polinômios $p(x)$ e $q(x)$ de coeficientes reais sabe-se que: • $p(x) + q(x)$ tem grau igual a 3. • $p(x) \cdot q(x)$ tem grau igual a 8.

A questão trata de propriedades de polinômios, especificamente sobre como os graus dos polinômios se comportam em operações de adição, subtração e multiplicação. Sabemos que o grau da soma (ou subtração) de dois polinômios pode ser menor ou igual ao maior grau entre eles, dependendo se há cancelamento dos termos de maior grau. Já o grau do produto é sempre a soma dos graus dos fatores. Seja $p(x)$ de grau $m$ e $q(x)$ de grau $n$. O produto $p(x) \cdot q(x)$ tem grau $m+n=8$. A soma $p(x)+q(x)$ tem grau 3, o que indica que houve cancelamento dos termos de maior grau, pois o grau esperado seria o maior entre $m$ e $n$, mas ficou 3. Isso só é possível se $m=n$ e os coeficientes dos termos de maior grau forem opostos. Assim, $p(x)-q(x)$ terá grau igual ao maior grau dos polinômios, pois ao subtrair, os termos de maior grau se somam (em vez de se cancelarem). Como $m+n=8$ e $m=n$, então $m=4$ e $n=4$. Portanto, $p(x)-q(x)$ tem grau 4.