O que é permutação com repetição em análise combinatória?

É a contagem de arranjos de elementos onde alguns se repetem, como em sequências de movimentos em um grid.

Como calcular o número de caminhos em um grid de m por n quadras, indo só para a direita e para cima?

Usa-se a fórmula \( \frac{(m+n)!}{m!\,n!} \), onde m e n são os números de passos para cada direção.

O que é o princípio da inclusão-exclusão?

É uma técnica para evitar dupla contagem ao somar ou subtrair conjuntos com interseção.

Como excluir caminhos que passam por um ponto específico em um grid?

Calcula-se os caminhos que passam por esse ponto e subtrai-se do total de caminhos possíveis.

Por que só são permitidos movimentos para a direita e para cima no problema?

Porque o enunciado restringe os deslocamentos, tornando o problema de contagem mais específico e controlado.

Qual a diferença entre arranjo e combinação?

Arranjo considera a ordem dos elementos, combinação não; no grid, usamos combinação porque a ordem dos passos iguais não importa.

Como a análise combinatória auxilia em problemas de caminhos em mapas quadriculados?

Ela permite calcular rapidamente o número de rotas possíveis usando fórmulas de permutação e combinação.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 158 — Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e per…

ENEM 2020 Questão 158

Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.

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André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita (→) ou para cima (↑), segundo o esquema da figura.

O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é

Resolução

Resposta correta: Letra C — 17

A questão aborda o conceito de contagem de caminhos em um grid, um clássico problema de análise combinatória. André precisa ir de sua casa (A) até a de Bernardo (B), deslocando-se apenas para a direita ou para cima, sem passar pela casa de Carlos (C). O primeiro passo é determinar o número total de caminhos de A até B, utilizando o princípio multiplicativo e o conceito de permutação com repetição. Em seguida, é necessário subtrair os caminhos que passam por C, aplicando o princípio da inclusão-exclusão. O raciocínio envolve calcular: (1) o total de caminhos de A até B; (2) o total de caminhos de A até C multiplicado pelo total de caminhos de C até B (esses são os que passam por C); (3) subtrair o resultado do item 2 do item 1. O resultado final é 17 caminhos, alternativa C.

Comentários por alternativa

A 4

A alternativa A (4) está incorreta, pois subestima o número de caminhos possíveis; provavelmente considera apenas um subconjunto das rotas possíveis.
B 14

A alternativa B (14) está errada, pois resulta de um erro de cálculo na subtração dos caminhos que passam por C ou na contagem total.
C 17

A alternativa C (17) está correta, pois corresponde ao cálculo exato: total de caminhos de A a B menos os que passam por C, conforme a análise combinatória.
D 35

A alternativa D (35) está incorreta, pois representa o total de caminhos de A a B sem considerar a restrição de não passar por C.
E 48

A alternativa E (48) está errada, pois superestima o número de caminhos, provavelmente desconsiderando as restrições do problema.

Flashcards

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1. O que é permutação com repetição em análise combinatória?: É a contagem de arranjos de elementos onde alguns se repetem, como em sequências de movimentos em um grid.
2. Como calcular o número de caminhos em um grid de m por n quadras, indo só para a direita e para cima?: Usa-se a fórmula \( \frac{(m+n)!}{m!\,n!} \), onde m e n são os números de passos para cada direção.
3. O que é o princípio da inclusão-exclusão?: É uma técnica para evitar dupla contagem ao somar ou subtrair conjuntos com interseção.
4. Como excluir caminhos que passam por um ponto específico em um grid?: Calcula-se os caminhos que passam por esse ponto e subtrai-se do total de caminhos possíveis.
5. Por que só são permitidos movimentos para a direita e para cima no problema?: Porque o enunciado restringe os deslocamentos, tornando o problema de contagem mais específico e controlado.
6. Qual a diferença entre arranjo e combinação?: Arranjo considera a ordem dos elementos, combinação não; no grid, usamos combinação porque a ordem dos passos iguais não importa.
7. Como a análise combinatória auxilia em problemas de caminhos em mapas quadriculados?: Ela permite calcular rapidamente o número de rotas possíveis usando fórmulas de permutação e combinação.

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