O que caracteriza um crescimento populacional exponencial?

No crescimento exponencial, a taxa de aumento é proporcional à quantidade existente, levando a um crescimento cada vez mais rápido ao longo do tempo.

Como se representa matematicamente uma população que multiplica por 10 a cada 3 dias?

A população pode ser modelada por $P(t) = P_0 \times 10^{t/3}$, onde $P_0$ é a população inicial e $t$ o tempo em dias.

Como determinar o tempo necessário para uma população atingir um valor específico em crescimento exponencial?

Iguala-se a expressão da população ao valor desejado e resolve-se a equação exponencial para o tempo.

O que é uma função exponencial?

É uma função do tipo $f(x) = a \cdot b^{x}$, onde $a$ é a constante inicial e $b$ é a base da potência, representando a razão de crescimento.

Por que o crescimento exponencial pode rapidamente ultrapassar limites de controle?

Porque o aumento é multiplicativo, não aditivo, fazendo com que pequenas populações cresçam rapidamente para valores muito altos.

Como a quantidade de produto X foi determinada para o controle das larvas?

O produto disponível controla até 1.000.000 de larvas, pois cada litro trata 200.000 e há 5 litros disponíveis.

Qual a importância de aplicar o controle no momento certo em populações de rápido crescimento?

Aplicar no momento certo evita que a população ultrapasse o limite de controle, prevenindo desequilíbrios e ineficácia do tratamento.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 159

ENEM 2023 Questão 159

Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez.

Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?

Resolução

A questão aborda crescimento populacional exponencial, um tema clássico em matemática para vestibulares. O agricultor começa com 100 larvas, cuja população multiplica-se por 10 a cada 3 dias. Ele dispõe de 5 litros do produto X, sendo 1 litro suficiente para 200.000 larvas, totalizando capacidade para 1.000.000 de larvas. O problema pede em quantos dias a população atingirá esse valor. O raciocínio envolve: (1) modelar a população com função exponencial $P(t) = 100 \times 10^{t/3}$, onde $t$ é o número de dias; (2) igualar $P(t)$ a 1.000.000 e resolver para $t$. Assim: $100 \times 10^{t/3} = 1.000.000 \Rightarrow 10^{t/3} = 10.000 \Rightarrow \frac{t}{3} = 4 \Rightarrow t = 12$. Portanto, o agricultor deve aplicar o produto X após 12 dias, pois é nesse momento que a população de larvas atinge o limite que pode ser controlado com o produto disponível.

Comentários por alternativa

A 2

A alternativa A (2 dias) está incorreta porque em 2 dias a população ainda não multiplicou sequer uma vez por 10, estando muito abaixo do limite de 1.000.000 de larvas.
B 4

A alternativa B (4 dias) está errada pois, após 4 dias, a população ainda não atingiu 1.000.000 de larvas; o crescimento exponencial exige mais tempo para chegar a esse patamar.
C 6

A alternativa C (6 dias) está incorreta, pois após 6 dias a população é $100 \times 10^{2} = 10.000$ larvas, ainda muito abaixo do limite necessário.
D 12

A alternativa D (12 dias) está correta porque, ao substituir $t = 12$ na função, obtemos $100 \times 10^{4} = 1.000.000$ larvas, exatamente o máximo que pode ser controlado com os 5 litros do produto X.
E 18

A alternativa E (18 dias) está errada, pois após 18 dias a população ultrapassaria em muito o limite de larvas que pode ser controlado, tornando o produto insuficiente.

Flashcards

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1. O que caracteriza um crescimento populacional exponencial?: No crescimento exponencial, a taxa de aumento é proporcional à quantidade existente, levando a um crescimento cada vez mais rápido ao longo do tempo.
2. Como se representa matematicamente uma população que multiplica por 10 a cada 3 dias?: A população pode ser modelada por $P(t) = P_0 \times 10^{t/3}$, onde $P_0$ é a população inicial e $t$ o tempo em dias.
3. Como determinar o tempo necessário para uma população atingir um valor específico em crescimento exponencial?: Iguala-se a expressão da população ao valor desejado e resolve-se a equação exponencial para o tempo.
4. O que é uma função exponencial?: É uma função do tipo $f(x) = a \cdot b^{x}$, onde $a$ é a constante inicial e $b$ é a base da potência, representando a razão de crescimento.
5. Por que o crescimento exponencial pode rapidamente ultrapassar limites de controle?: Porque o aumento é multiplicativo, não aditivo, fazendo com que pequenas populações cresçam rapidamente para valores muito altos.
6. Como a quantidade de produto X foi determinada para o controle das larvas?: O produto disponível controla até 1.000.000 de larvas, pois cada litro trata 200.000 e há 5 litros disponíveis.
7. Qual a importância de aplicar o controle no momento certo em populações de rápido crescimento?: Aplicar no momento certo evita que a população ultrapasse o limite de controle, prevenindo desequilíbrios e ineficácia do tratamento.