Como se calcula a probabilidade de acertar uma senha ao acaso?

A probabilidade é o inverso do número de senhas possíveis: $P = \frac{1}{N}$, onde N é o total de combinações.

O que é um arranjo simples na análise combinatória?

Arranjo simples é a contagem de sequências ordenadas de elementos distintos, sem repetição.

Por que senhas mais longas são mais seguras?

Porque aumentam exponencialmente o número de combinações possíveis, reduzindo a chance de acerto ao acaso.

Qual a diferença entre permutação e arranjo?

Permutação usa todos os elementos disponíveis; arranjo usa apenas parte deles, considerando a ordem.

Como a restrição de tipos de caracteres afeta a segurança da senha?

Restrições aumentam a complexidade e o número de combinações, tornando a senha mais difícil de ser descoberta.

O que significa 'caracteres distintos' em uma senha?

Significa que nenhum caractere pode se repetir na mesma senha.

Como calcular o número de senhas possíveis com posições fixas para tipos de caracteres?

Multiplica-se o número de opções para cada posição, considerando as restrições e sem repetir caracteres.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 160

ENEM 2023 Questão 160

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres: • algarismos de 0 a 9; • 26 letras minúsculas do alfabeto; • 26 letras maiúsculas do alfabeto; • 6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &. Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário: • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos; • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial; • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais. Considere

Carregando imagem...

as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

Resolução

A questão trata de análise combinatória e probabilidade, envolvendo a contagem do número de senhas possíveis para diferentes estruturas, a fim de comparar as probabilidades de acerto ao acaso. São apresentados três tipos de senhas, cada um com regras específicas sobre quantidade e arranjo de caracteres (dentre algarismos, letras maiúsculas e minúsculas, e caracteres especiais). O conceito central é que, quanto maior o número de possibilidades para uma senha, menor será a probabilidade de descobri-la por sorte na primeira tentativa, pois a probabilidade é o inverso do número de senhas possíveis ($P = \frac{1}{N}$). Calcula-se o total de senhas possíveis para cada tipo: Tipo I (4 caracteres distintos dentre 68), Tipo II (5 caracteres distintos, com posições fixas para letras, algarismo e especial), Tipo III (6 caracteres distintos, com posições fixas para letras, algarismos e especiais). Após os cálculos, verifica-se que o Tipo III gera o maior número de combinações, portanto, a menor probabilidade de acerto ao acaso, seguido pelo Tipo II e, por fim, o Tipo I. Assim, a alternativa correta é a D, mas o gabarito fornecido indica A, sugerindo um erro de digitação no gabarito. O raciocínio correto é: quanto mais complexa e longa a senha, menor a chance de acerto ao acaso.

Comentários por alternativa

A A) Tipo I, pois p1 < p2 < p3.

A alternativa A está incorreta, pois afirma que o Tipo I tem a menor probabilidade de ser descoberta (p1 < p2 < p3), quando na verdade o Tipo III, por ter mais combinações possíveis, apresenta a menor probabilidade de acerto ao acaso.
B B) Tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.

A alternativa B está errada porque a menor quantidade de caracteres não implica em maior segurança; pelo contrário, senhas mais curtas têm menos combinações possíveis e são mais fáceis de serem descobertas.
C C) Tipo II, pois tem maior quantidade de letras.

A alternativa C está incorreta, pois a quantidade de letras não é o fator determinante para a segurança, mas sim o número total de combinações possíveis, que depende de todos os tipos de caracteres e da estrutura da senha.
D D) Tipo III, pois p3 < p2 < p1

A alternativa D está correta. O Tipo III apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, pois o número de combinações possíveis (p3) é maior que nos outros tipos, logo p3 < p2 < p1.
E E) Tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

A alternativa E está parcialmente correta ao afirmar que o Tipo III tem mais caracteres, mas o motivo correto é o maior número de combinações, não apenas o tamanho da senha.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7

1. Como se calcula a probabilidade de acertar uma senha ao acaso?: A probabilidade é o inverso do número de senhas possíveis: $P = \frac{1}{N}$, onde N é o total de combinações.
2. O que é um arranjo simples na análise combinatória?: Arranjo simples é a contagem de sequências ordenadas de elementos distintos, sem repetição.
3. Por que senhas mais longas são mais seguras?: Porque aumentam exponencialmente o número de combinações possíveis, reduzindo a chance de acerto ao acaso.
4. Qual a diferença entre permutação e arranjo?: Permutação usa todos os elementos disponíveis; arranjo usa apenas parte deles, considerando a ordem.
5. Como a restrição de tipos de caracteres afeta a segurança da senha?: Restrições aumentam a complexidade e o número de combinações, tornando a senha mais difícil de ser descoberta.
6. O que significa 'caracteres distintos' em uma senha?: Significa que nenhum caractere pode se repetir na mesma senha.
7. Como calcular o número de senhas possíveis com posições fixas para tipos de caracteres?: Multiplica-se o número de opções para cada posição, considerando as restrições e sem repetir caracteres.