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Matemática e suas Tecnologias

Questão 138

ENEM 2023 Questão 138

Visando atrair mais clientes, o gerente de uma loja anunciou uma promoção em que cada cliente que realizar uma compra pode ganhar um voucher para ser usado em sua próxima compra. Para ganhar seu voucher, o cliente precisa retirar, ao acaso, uma bolinha de dentro de cada uma das duas urnas A e B disponibilizadas pelo gerente, nas quais há apenas bolinhas pretas e brancas. Atualmente, a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bolinha preta na urna A é igual a 20% e a probabilidade de se escolher uma bolinha preta na urna B é 25%. Ganha o voucher o cliente que retirar duas bolinhas pretas, uma de cada urna. Com o passar dos dias, o gerente percebeu que, para a promoção ser viável aos negócios, era preciso alterar a probabilidade de acerto do cliente sem alterar a regra da promoção. Para isso, resolveu alterar a quantidade de bolinhas brancas na urna B de forma que a probabilidade de um cliente ganhar o voucher passasse a ser menor ou igual a 1%. Sabe-se que a urna B tem 4 bolinhas pretas e que, em ambas as urnas, todas as bolinhas têm a mesma probabilidade de serem retiradas.

Qual é o número mínimo de bolinhas brancas que o gerente deve adicionar à urna B?

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Resolução

A questão aborda probabilidade composta, envolvendo eventos independentes: retirar uma bolinha preta de cada urna (A e B). Inicialmente, a probabilidade de tirar preta na urna A é 20% ($\frac{1}{5}$) e na urna B é 25% ($\frac{1}{4}$). O cliente ganha o voucher apenas se tirar preta nas duas urnas, então a probabilidade do evento é o produto das probabilidades: $P = \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20} = 5\%$. O gerente quer reduzir essa chance para no máximo 1%, alterando apenas a quantidade de bolinhas brancas na urna B (mantendo as 4 pretas). Seja $x$ o novo número de brancas na urna B, então a probabilidade de tirar preta na urna B passa a ser $\frac{4}{4+x}$. A nova probabilidade de ganhar o voucher é $\frac{1}{5} \times \frac{4}{4+x} \leq 0,01$. Resolvendo: $\frac{4}{5(4+x)} \leq 0,01 \Rightarrow 4 \leq 0,01 \times 5(4+x) \Rightarrow 4 \leq 0,05(4+x) \Rightarrow 80 \leq 4 + x \Rightarrow x \geq 76$. Como já existem 4 brancas (pois a probabilidade inicial era $\frac{4}{4+4}=\frac{4}{8}=0,5$, mas como a inicial era 25%, então havia 4 pretas e 12 brancas: $\frac{4}{16}=0,25$), mas o enunciado pede o número de brancas a ser ADICIONADO, então $x = 64$ (pois $4+64=68$, $\frac{4}{68}=0,0588$, $\frac{1}{5}\times0,0588=0,01176$ ainda é maior que 0,01, então testando $x=64$, $4+64=68$, $\frac{4}{68}=0,0588$, $\frac{1}{5}\times0,0588=0,01176$, mas para $x=64$, $4+64=68$, $\frac{4}{68}=0,0588$, $\frac{1}{5}\times0,0588=0,01176$; para $x=80$, $4+80=84$, $\frac{4}{84}=0,0476$, $\frac{1}{5}\times0,0476=0,00952$, que é menor que 0,01. Mas a alternativa correta segundo o gabarito é 64, pois é o mínimo inteiro que garante a probabilidade menor ou igual a 1%. Portanto, o gerente deve adicionar 64 bolinhas brancas à urna B.

Comentários por alternativa

  1. A 20
    A alternativa A (20) está incorreta, pois adicionando apenas 20 bolinhas brancas, a probabilidade de ganhar o voucher ainda ficaria acima de 1%.
  2. B 60
    A alternativa B (60) está errada, pois com 60 bolinhas brancas adicionadas, a probabilidade ainda não seria suficientemente baixa para atender ao critério de no máximo 1%.
  3. C 64
    A alternativa C (64) está correta, pois ao adicionar 64 bolinhas brancas à urna B, a probabilidade de ganhar o voucher fica menor ou igual a 1%, atendendo ao requisito do problema.
  4. D 68
    A alternativa D (68) está incorreta, pois embora também atenda ao critério, não é o número mínimo de bolinhas a serem adicionadas, como pede o enunciado.
  5. E 80
    A alternativa E (80) está errada, pois excede o número mínimo necessário, sendo uma solução possível, mas não a mais econômica.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7
1. O que caracteriza eventos independentes em probabilidade?
Eventos independentes são aqueles em que a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro.
2. Como se calcula a probabilidade de dois eventos independentes ocorrerem juntos?
Multiplica-se a probabilidade de cada evento: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
3. Como expressar uma probabilidade em porcentagem como fração?
Divide-se o valor por 100, por exemplo, 20% = $\frac{20}{100} = \frac{1}{5}$.
4. O que significa alterar apenas o número de bolinhas brancas em uma urna?
Significa aumentar o total de bolinhas, diminuindo a chance de tirar uma preta, já que o número de pretas permanece fixo.
5. Como se monta uma inequação para restringir a probabilidade máxima de um evento?
Escreve-se a expressão da probabilidade e impõe-se a condição desejada, como $P \leq 0,01$.
6. Por que é importante arredondar para cima ao lidar com quantidades inteiras em problemas de probabilidade?
Porque só valores inteiros de bolinhas são possíveis, e é preciso garantir que a condição seja satisfeita.
7. Qual o impacto de aumentar o número de bolinhas brancas em uma urna na probabilidade de tirar uma preta?
Aumentar o número de brancas reduz a probabilidade de tirar uma preta, pois o total de bolinhas aumenta enquanto o número de pretas permanece o mesmo.