O que é uma combinação com repetição?

É uma forma de agrupar elementos em que a ordem não importa e cada elemento pode ser escolhido mais de uma vez.

Qual a fórmula para combinação com repetição de n itens em k grupos?

A fórmula é C(n + k - 1, k - 1), onde C representa o número de combinações.

Como garantir que cada cor seja usada ao menos uma vez na distribuição dos carrinhos?

Reserva-se um carrinho para cada cor, restando os demais para serem distribuídos livremente.

Por que a ordem dos carrinhos não importa neste problema?

Porque a questão afirma que a mudança de posição dos carrinhos não gera um novo modelo do brinquedo.

Qual a diferença entre permutação e combinação?

Na permutação a ordem importa, enquanto na combinação a ordem não importa.

O que significa C(9,3) em análise combinatória?

Significa o número de maneiras de escolher 3 elementos de um conjunto de 9, sem importar a ordem.

Como calcular C(9,3)?

Usa-se a fórmula C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}, então C(9,3) = \frac{9!}{3!6!} = 84.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 143

ENEM 2017 Questão 143

Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.

Carregando imagem...

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.

Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?

Resolução

A questão trata de um problema clássico de análise combinatória, mais especificamente de contagem de agrupamentos com restrição. Temos 10 carrinhos a serem pintados com 4 cores diferentes (amarelo, branco, laranja e verde), sendo obrigatório que cada cor apareça em pelo menos um carrinho. Como a ordem dos carrinhos não importa, trata-se de uma combinação com repetição, mas com restrição de pelo menos um elemento de cada tipo. O raciocínio é: primeiro, garantir que cada cor seja usada ao menos uma vez (ou seja, cada cor já 'leva' 1 carrinho), restando 10 - 4 = 6 carrinhos para serem distribuídos livremente entre as 4 cores. O número de maneiras de distribuir esses 6 carrinhos entre 4 cores (permitindo repetições) é dado por combinações com repetição: C(n + k - 1, k - 1), onde n = 6 e k = 4, resultando em C(9,3). Portanto, a alternativa correta é a letra B.

Comentários por alternativa

A C6,4

A alternativa A (C6,4) está errada porque inverte os parâmetros da combinação; não corresponde ao número de maneiras de distribuir os carrinhos restantes entre as cores.
B C9,3

A alternativa B (C9,3) está correta, pois representa o número de maneiras de distribuir 6 carrinhos restantes entre 4 cores, após garantir pelo menos um carrinho de cada cor, usando a fórmula de combinação com repetição: C(n + k - 1, k - 1) = C(6 + 4 - 1, 4 - 1) = C(9,3).
C C10,4

A alternativa C (C10,4) está errada porque corresponde ao caso sem restrição de pelo menos uma cor para cada carrinho, ou seja, permitiria que alguma cor não fosse usada.
D 64

A alternativa D (64) está errada porque representa 4^3 ou 4^6, que não se relaciona corretamente com o problema, além de ignorar a restrição de uso mínimo de cada cor.
E 46

A alternativa E (46) está errada porque não corresponde a nenhuma fórmula de combinação ou permutação aplicável ao problema, sendo apenas um número distrator.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que é uma combinação com repetição?: É uma forma de agrupar elementos em que a ordem não importa e cada elemento pode ser escolhido mais de uma vez.
2. Qual a fórmula para combinação com repetição de n itens em k grupos?: A fórmula é C(n + k - 1, k - 1), onde C representa o número de combinações.
3. Como garantir que cada cor seja usada ao menos uma vez na distribuição dos carrinhos?: Reserva-se um carrinho para cada cor, restando os demais para serem distribuídos livremente.
4. Por que a ordem dos carrinhos não importa neste problema?: Porque a questão afirma que a mudança de posição dos carrinhos não gera um novo modelo do brinquedo.
5. Qual a diferença entre permutação e combinação?: Na permutação a ordem importa, enquanto na combinação a ordem não importa.
6. O que significa C(9,3) em análise combinatória?: Significa o número de maneiras de escolher 3 elementos de um conjunto de 9, sem importar a ordem.
7. Como calcular C(9,3)?: Usa-se a fórmula C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}, então C(9,3) = \frac{9!}{3!6!} = 84.