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Questão 141 — Um hotel de 3 andares está sendo construído. Cada andar terá 100 quartos. Os quartos serão numerados de 100 a 399 e cada um terá seu número afixado à…

ENEM 2020 Questão 141

Um hotel de 3 andares está sendo construído. Cada andar terá 100 quartos. Os quartos serão numerados de 100 a 399 e cada um terá seu número afixado à porta. Cada número será composto por peças individuais, cada uma simbolizando um único algarismo.

Qual a quantidade mínima de peças, simbolizando o algarismo 2, necessárias para identificar o número de todos os quartos?

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Resolução

Resposta correta: Letra A — 160

A questão aborda contagem e análise combinatória, pedindo o número mínimo de peças com o algarismo 2 necessárias para numerar as portas dos quartos de um hotel, cujos quartos vão de 100 a 399. O primeiro passo é entender que os quartos estão distribuídos em três andares: 100 a 199 (1º andar), 200 a 299 (2º andar) e 300 a 399 (3º andar), totalizando 300 quartos. Precisamos contar quantas vezes o dígito 2 aparece em todas as centenas, dezenas e unidades desses números. Para cada centena (100-199, 200-299, 300-399), analisamos separadamente: 1) Nos quartos de 100 a 199: o 2 pode aparecer nas dezenas e unidades. Para dezenas, de 120 a 129 (10 quartos), e para unidades, em cada dezena (102, 112, ..., 192), totalizando 10 quartos. Mas há sobreposição em 122, então somamos 10 (dezenas) + 10 (unidades) = 20, mas subtraímos 1 (sobreposição em 122), totalizando 19. Mas, na verdade, cada posição é independente, então são 10 nas dezenas e 10 nas unidades, totalizando 20. 2) Nos quartos de 200 a 299: todos têm 2 na centena (100 quartos). Além disso, para cada dezena (200-209, 210-219, ..., 290-299), o 2 aparece nas dezenas (220-229, 230-239, ..., 290-299) e nas unidades (202, 212, ..., 292). Para dezenas, em cada centena (220-229), são 10 quartos; para unidades, 202, 212, ..., 292, também 10 quartos. Mas, novamente, há sobreposição em 222. Então, para o bloco 200-299: 100 (centena) + 10 (dezenas, 220-229) + 10 (unidades, 202, 212, ..., 292) = 120. No entanto, nos números 222, 232, ..., 292, o 2 aparece mais de uma vez, então devemos contar cada ocorrência separadamente. Para cada número, contamos quantos dígitos 2 aparecem. 3) Nos quartos de 300 a 399: o 2 pode aparecer nas dezenas e unidades, como no primeiro bloco. De 320 a 329 (10 quartos com 2 nas dezenas) e 302, 312, ..., 392 (10 quartos com 2 nas unidades), totalizando 20. Somando: 20 (100-199) + 120 (200-299) + 20 (300-399) = 160. Portanto, a alternativa correta é a letra A.

Comentários por alternativa

  1. A 160
    A alternativa A está correta porque soma corretamente todas as ocorrências do dígito 2 nas centenas, dezenas e unidades dos números de 100 a 399, considerando todas as posições e sobreposições.
  2. B 157
    A alternativa B está errada porque subestima a quantidade de peças, provavelmente desconsiderando algumas ocorrências do dígito 2, especialmente nas centenas.
  3. C 130
    A alternativa C está incorreta por não contabilizar todas as posições possíveis do dígito 2, especialmente nos números de 200 a 299.
  4. D 120
    A alternativa D está errada porque ignora diversas ocorrências do dígito 2, principalmente nas dezenas e unidades.
  5. E 60
    A alternativa E está incorreta, pois considera apenas uma das posições (provavelmente as centenas), desconsiderando dezenas e unidades.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7
1. O que é análise combinatória?
É o ramo da matemática que estuda as possibilidades de agrupamentos e contagens de elementos de um conjunto, sem considerar a ordem.
2. Como se calcula a quantidade de vezes que um dígito aparece em uma faixa de números?
Analisa-se cada posição (centena, dezena, unidade) separadamente e soma-se as ocorrências em cada uma.
3. Por que é importante considerar sobreposições ao contar dígitos?
Porque um mesmo número pode conter o dígito em mais de uma posição, e cada ocorrência deve ser contada separadamente para não subestimar o total.
4. Qual a diferença entre permutação e combinação?
Permutação considera a ordem dos elementos, enquanto combinação não leva a ordem em conta.
5. O que significa 'faixa de números consecutivos'?
É um intervalo de números inteiros que seguem uma sequência sem saltos, como de 100 a 399.
6. Como identificar padrões de repetição de dígitos em sequências numéricas?
Observando as variações em cada posição decimal e quantificando as repetições de acordo com a estrutura dos números.
7. Por que a contagem de dígitos é útil em problemas práticos?
Ajuda a prever recursos necessários, como peças para numeração, e a resolver problemas de logística e organização.

Treino guiado

Detonando o Tema

O DIMVS vai preparar 3 perguntas sobre o mesmo tema desta questão: uma fácil, uma média e uma difícil.

1. Comece pelo fácil 2. Suba para o médio 3. Feche no difícil

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