O que é análise combinatória?

É o ramo da matemática que estuda métodos de contagem e organização de elementos de um conjunto, como arranjos, permutações e combinações.

Como se calcula a probabilidade de um evento?

Divide-se o número de casos favoráveis pelo número total de casos possíveis, desde que todos sejam igualmente prováveis.

O que significa permutação com elementos repetidos?

É o número de maneiras de ordenar elementos quando alguns são indistinguíveis entre si, usando a fórmula $ \frac{n!}{n_1!n_2!...} $.

Como funciona o desempate por sorteio em análise combinatória?

Quando há empate, a ordem entre os empatados é definida aleatoriamente, e cada posição tem a mesma chance de ser ocupada por qualquer um deles.

O que é um evento equiprovável?

É quando todos os resultados possíveis de um experimento têm a mesma probabilidade de ocorrer.

Por que a ordem de atendimento depende da idade no contexto da questão?

Porque o critério estabelecido é que idosos mais velhos recebem primeiro; em caso de empate de idade, a ordem é definida por sorteio.

Como identificar casos favoráveis em problemas de ordenação com restrições?

É preciso analisar as condições que definem a posição desejada e contar as maneiras de cumpri-las, respeitando as regras do problema.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 142 — O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê certos direitos às pessoas com idade avançada, concedendo a estas, entre outros benefícios, a restituição de im…

ENEM 2020 Questão 142

O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê certos direitos às pessoas com idade avançada, concedendo a estas, entre outros benefícios, a restituição de imposto de renda antes dos demais contribuintes. A tabela informa os nomes e as idades de 12 idosos que aguardam suas restituições de imposto de renda. Considere que, entre os idosos, a restituição seja concedida em ordem decrescente de idade e que, em subgrupos de pessoas com a mesma idade, a ordem seja decidida por sorteio.

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Nessas condições, a probabilidade de João ser a sétima pessoa do grupo a receber sua restituição é igual a

Resolução

Resposta correta: Letra E

A questão aborda probabilidade em um contexto de ordenação, envolvendo análise combinatória. O problema pede a probabilidade de João ser o sétimo a receber a restituição, considerando que a ordem é definida por idade decrescente e, em caso de empate de idade, por sorteio. Para resolver, é necessário entender: (1) quantos idosos têm idade maior que João (que sempre receberão antes dele), (2) quantos têm a mesma idade (com quem ele pode empatar), e (3) quantos têm idade menor (que sempre receberão depois dele). Se João deve ser o sétimo, então exatamente 6 pessoas devem receber antes dele. Se há $k$ pessoas com a mesma idade que João, a posição de João entre eles é definida por sorteio. A probabilidade de João ser o sétimo é, então, a razão entre o número de maneiras de João ocupar a posição correta e o total de possíveis ordenações dos empatados. O cálculo envolve análise combinatória, especialmente arranjos e permutações com restrições.

Comentários por alternativa

A

A alternativa A está incorreta porque não considera corretamente a quantidade de pessoas com idade maior ou igual à de João, nem o sorteio entre os empatados.
B

A alternativa B erra ao desconsiderar a necessidade de João ser o sétimo exatamente, ignorando a análise combinatória dos empatados por idade.
C

A alternativa C apresenta um erro comum: confunde a ordem de chegada com a simples escolha aleatória, sem considerar a restrição de idade.
D

A alternativa D falha ao não aplicar corretamente o conceito de permutação restrita entre os idosos de mesma idade.
E

A alternativa E está correta porque leva em conta que, para João ser o sétimo, é preciso que exatamente 6 pessoas (todas mais velhas ou, em caso de empate de idade, sorteadas antes dele) recebam antes. O cálculo correto considera o número de pessoas com idade maior, o número de empatados e a posição de João entre eles, utilizando análise combinatória para determinar a probabilidade exata.

Flashcards

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1. O que é análise combinatória?: É o ramo da matemática que estuda métodos de contagem e organização de elementos de um conjunto, como arranjos, permutações e combinações.
2. Como se calcula a probabilidade de um evento?: Divide-se o número de casos favoráveis pelo número total de casos possíveis, desde que todos sejam igualmente prováveis.
3. O que significa permutação com elementos repetidos?: É o número de maneiras de ordenar elementos quando alguns são indistinguíveis entre si, usando a fórmula $ \frac{n!}{n_1!n_2!...} $.
4. Como funciona o desempate por sorteio em análise combinatória?: Quando há empate, a ordem entre os empatados é definida aleatoriamente, e cada posição tem a mesma chance de ser ocupada por qualquer um deles.
5. O que é um evento equiprovável?: É quando todos os resultados possíveis de um experimento têm a mesma probabilidade de ocorrer.
6. Por que a ordem de atendimento depende da idade no contexto da questão?: Porque o critério estabelecido é que idosos mais velhos recebem primeiro; em caso de empate de idade, a ordem é definida por sorteio.
7. Como identificar casos favoráveis em problemas de ordenação com restrições?: É preciso analisar as condições que definem a posição desejada e contar as maneiras de cumpri-las, respeitando as regras do problema.

Questão 142 — O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê certos direitos às pessoas com idade avançada, concedendo a estas, entre outros benefícios, a restituição de im…

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