O que é uma combinação simples em análise combinatória?

Combinação simples é uma seleção de elementos de um conjunto, onde a ordem não importa, calculada por $C_{n,p} = \frac{n!}{p!\,(n-p)!}$.

Como identificar apartamentos que atendem a uma condição específica em um problema de contagem?

É preciso analisar o enunciado e filtrar os elementos que satisfazem todas as restrições antes de aplicar fórmulas de contagem.

Qual a diferença entre combinação e permutação?

Na combinação a ordem dos elementos não importa; na permutação, a ordem é relevante.

Como calcular o número de maneiras de escolher 2 itens entre 6?

Usa-se $C_{6,2} = \frac{6!}{2!\,4!} = 15$.

Por que multiplicar pelo número de andares ao final do cálculo?

Porque a escolha pode ser feita independentemente em cada andar, então multiplicamos o número de combinações por andar pelo total de andares.

O que significa uma restrição de 'pelo menos um' em problemas de contagem?

Significa que, em cada escolha, deve haver ao menos um elemento que satisfaça a condição, podendo haver mais.

Como interpretar a notação $C_{n,p}$?

$C_{n,p}$ representa o número de combinações possíveis de $n$ elementos tomados $p$ a $p$ sem repetição.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 155 — Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por…

ENEM 2022 Questão 155

Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sendo que a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, que diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sol nos quartos desses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação: • naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã; • naqueles que finalizam em 3, 4, 5 ou 6, apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã; • naqueles que finalizam em 7 ou 8, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde. Uma pessoa pretende comprar 2 desses apartamentos em um mesmo andar, mas quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã.

De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos para compra nas condições desejadas?

Resolução

Resposta correta: Letra B

A questão envolve análise combinatória e interpretação de enunciado. Temos um prédio com 9 andares e 8 apartamentos por andar, numerados de acordo com o andar (dezena) e a posição (unidade de 1 a 8). As condições sobre a incidência de sol determinam que apenas apartamentos terminados em 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 têm pelo menos um quarto com sol pela manhã. O objetivo é descobrir de quantas formas é possível escolher 2 apartamentos em um mesmo andar, ambos atendendo a esse critério. Primeiro, identificamos que, por andar, os apartamentos elegíveis são os de final 1, 2, 3, 4, 5 e 6, totalizando 6 por andar. O número de maneiras de escolher 2 dentre 6 é dado por combinações: $C_{6,2} = \frac{6!}{2!\,4!} = 15$. Como há 9 andares, multiplicamos: $15 \times 9 = 135$. Portanto, há 135 maneiras diferentes de escolher os apartamentos conforme as condições.

Comentários por alternativa

A

A alternativa A está incorreta porque não corresponde ao número correto de combinações possíveis; provavelmente resulta de erro na contagem dos apartamentos elegíveis ou no cálculo combinatório.
B

A alternativa B está correta. Ela reflete o cálculo correto: 6 apartamentos por andar atendem ao critério, e escolher 2 dentre eles em cada um dos 9 andares resulta em $C_{6,2} \times 9 = 15 \times 9 = 135$ maneiras.
C

A alternativa C está errada porque superestima ou subestima o total, possivelmente considerando apartamentos que não atendem à condição ou errando na combinação.
D

A alternativa D está incorreta, provavelmente por considerar todos os apartamentos ou por erro no uso da combinação, sem respeitar a restrição do sol pela manhã.
E

A alternativa E está errada, pois não representa o resultado correto da análise combinatória com as restrições dadas pelo enunciado.

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1. O que é uma combinação simples em análise combinatória?: Combinação simples é uma seleção de elementos de um conjunto, onde a ordem não importa, calculada por $C_{n,p} = \frac{n!}{p!\,(n-p)!}$.
2. Como identificar apartamentos que atendem a uma condição específica em um problema de contagem?: É preciso analisar o enunciado e filtrar os elementos que satisfazem todas as restrições antes de aplicar fórmulas de contagem.
3. Qual a diferença entre combinação e permutação?: Na combinação a ordem dos elementos não importa; na permutação, a ordem é relevante.
4. Como calcular o número de maneiras de escolher 2 itens entre 6?: Usa-se $C_{6,2} = \frac{6!}{2!\,4!} = 15$.
5. Por que multiplicar pelo número de andares ao final do cálculo?: Porque a escolha pode ser feita independentemente em cada andar, então multiplicamos o número de combinações por andar pelo total de andares.
6. O que significa uma restrição de 'pelo menos um' em problemas de contagem?: Significa que, em cada escolha, deve haver ao menos um elemento que satisfaça a condição, podendo haver mais.
7. Como interpretar a notação $C_{n,p}$?: $C_{n,p}$ representa o número de combinações possíveis de $n$ elementos tomados $p$ a $p$ sem repetição.

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