O que é a proporção áurea e como ela é definida matematicamente?

A proporção áurea é um número irracional, definido pela equação $\rho^2 = \rho + 1$, e seu valor é aproximadamente 1,618.

Como se pode expressar potências de $\rho$ maiores que 2 na forma $a\rho + b$?

Usa-se a relação $\rho^2 = \rho + 1$ para substituir potências superiores, reduzindo-as a combinações lineares de $\rho$ e 1.

Qual é o valor de $\rho^3$ na forma $a\rho + b$?

$\rho^3 = 2\rho + 1$, obtido multiplicando $\rho$ por $\rho^2$ e simplificando com a relação da proporção áurea.

Existe uma relação recorrente entre os coeficientes $a$ e $b$ nas potências de $\rho$?

Sim, os coeficientes seguem a sequência de Fibonacci: cada termo é a soma dos dois anteriores.

Por que a relação $\rho^2 = \rho + 1$ permite simplificar potências de $\rho$?

Porque qualquer potência de $\rho$ maior que 2 pode ser reescrita substituindo $\rho^2$ por $\rho + 1$, reduzindo o grau da expressão.

Qual é a importância da proporção áurea na matemática e nas artes?

A proporção áurea aparece em padrões naturais, arquitetura, artes e design, sendo associada à estética e harmonia.

Como calcular $\rho^n$ na forma $a\rho + b$ para qualquer $n$?

Usa-se a recorrência baseada na relação $\rho^n = a_{n}\rho + b_{n}$, onde $a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}$ e $b_{n} = b_{n-1} + b_{n-2}$, seguindo a sequência de Fibonacci.

Matemática e suas Tecnologias

Questão 136 — Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para…

ENEM 2021 Questão 136

Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega $\rho$, e seu valor é dado pela solução positiva da equação $\rho^2=\rho+1$ Assim como a potência $\rho^2$, as potências superiores de $\rho$ podem ser expressas da forma $a\rho + b$, em que $a$ e $b$ são inteiros positivos, como apresentad0o no quadro.

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A potência $\rho^7$, escrita na forma $a\rho+b$ ($a$ e $b$ são inteiros positivos), é

Resolução

Resposta correta: Letra E — 13ρ+8

A questão aborda a proporção áurea, representada por $\rho$, cuja definição algébrica é $\rho^2 = \rho + 1$. O problema pede para expressar $\rho^7$ na forma $a\rho + b$, com $a$ e $b$ inteiros positivos. Para isso, é necessário perceber que potências de $\rho$ podem ser reduzidas usando a relação $\rho^2 = \rho + 1$, permitindo escrever qualquer potência superior como combinação linear de $\rho$ e 1. O raciocínio envolve calcular sucessivamente as potências de $\rho$ e, a cada passo, substituir $\rho^2$ por $\rho + 1$ para simplificar. Seguindo esse processo, temos: $\rho^2 = \rho + 1$, $\rho^3 = \rho \cdot \rho^2 = \rho(\rho + 1) = \rho^2 + \rho = (\rho + 1) + \rho = 2\rho + 1$, e assim por diante. Repetindo o procedimento até $\rho^7$, encontramos $\rho^7 = 13\rho + 8$, que corresponde à alternativa E.

Comentários por alternativa

A 5ρ+3

A alternativa A (5\rho+3) está incorreta, pois representa o valor de $\rho^5$, não de $\rho^7$. É um erro comum ao não seguir corretamente o processo de substituição até a potência desejada.
B 7ρ+2

A alternativa B (7\rho+2) está errada, pois corresponde ao valor de $\rho^6$, não $\rho^7$. O erro está em parar uma etapa antes do necessário.
C 9ρ+6

A alternativa C (9\rho+6) é incorreta, pois não corresponde a nenhuma das potências calculadas corretamente para $\rho$. Provavelmente resulta de um erro de cálculo intermediário.
D 11ρ+7

A alternativa D (11\rho+7) também está errada, pois representa um valor intermediário incorreto, não associado a $\rho^7$. Pode ser resultado de uma soma equivocada dos coeficientes.
E 13ρ+8

A alternativa E (13\rho+8) está correta. Ao calcular sucessivamente as potências de $\rho$ e aplicar a relação $\rho^2 = \rho + 1$, encontramos que $\rho^7 = 13\rho + 8$, confirmando que esta é a resposta certa.

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1. O que é a proporção áurea e como ela é definida matematicamente?: A proporção áurea é um número irracional, definido pela equação $\rho^2 = \rho + 1$, e seu valor é aproximadamente 1,618.
2. Como se pode expressar potências de $\rho$ maiores que 2 na forma $a\rho + b$?: Usa-se a relação $\rho^2 = \rho + 1$ para substituir potências superiores, reduzindo-as a combinações lineares de $\rho$ e 1.
3. Qual é o valor de $\rho^3$ na forma $a\rho + b$?: $\rho^3 = 2\rho + 1$, obtido multiplicando $\rho$ por $\rho^2$ e simplificando com a relação da proporção áurea.
4. Existe uma relação recorrente entre os coeficientes $a$ e $b$ nas potências de $\rho$?: Sim, os coeficientes seguem a sequência de Fibonacci: cada termo é a soma dos dois anteriores.
5. Por que a relação $\rho^2 = \rho + 1$ permite simplificar potências de $\rho$?: Porque qualquer potência de $\rho$ maior que 2 pode ser reescrita substituindo $\rho^2$ por $\rho + 1$, reduzindo o grau da expressão.
6. Qual é a importância da proporção áurea na matemática e nas artes?: A proporção áurea aparece em padrões naturais, arquitetura, artes e design, sendo associada à estética e harmonia.
7. Como calcular $\rho^n$ na forma $a\rho + b$ para qualquer $n$?: Usa-se a recorrência baseada na relação $\rho^n = a_{n}\rho + b_{n}$, onde $a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}$ e $b_{n} = b_{n-1} + b_{n-2}$, seguindo a sequência de Fibonacci.

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