O que representa o termo constante $a$ em uma função de resfriamento exponencial?

O termo $a$ representa a temperatura de equilíbrio, geralmente a temperatura ambiente, para a qual o sistema tende com o tempo.

Por que a base $b$ de uma função exponencial de resfriamento deve ser menor que 1?

Porque valores de $b$ menores que 1 garantem que a função decresça ao longo do tempo, modelando o resfriamento.

Como identificar a temperatura inicial em uma função do tipo $T(t) = a + 80b^{t}$?

Basta calcular $T(0)$, que resulta em $a + 80$, indicando a temperatura logo após o aquecimento.

O que significa $b = (0,5)^{\frac{1}{10}}$ no contexto de resfriamento?

Significa que a cada 10 minutos, a diferença de temperatura em relação ao ambiente é reduzida pela metade.

Qual é o comportamento da função $T(t)$ quando $t \to \infty$?

A temperatura $T(t)$ se aproxima de $a$, a temperatura ambiente, pois $b^{t} \to 0$.

Como a Lei do Resfriamento de Newton se relaciona com funções exponenciais?

Ela afirma que a taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e do ambiente, resultando em função exponencial.

Por que não se usa logaritmo como base da exponencial em modelos físicos de resfriamento?

Porque a base deve ser um número positivo menor que 1 para representar decaimento, enquanto logaritmos negativos não têm sentido físico nesse contexto.

Ciências Humanas e suas Tecnologias

Os valores das constantes $a$ e $b$ são

ENEM 2024 Questão 148

Uma caneca com água fervendo é retirada de um forno de micro-ondas. A temperatura $T$, em grau Celsius, da caneca, em função do tempo $t$, em minuto, pode ser modelada pela função $$T(t) = a + 80\,b^{t}$$ representada no gráfico a seguir.

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Disponível em: https://pt.khanacademy.org. Acesso em: 27 jun. 2024 (adaptado).

Os valores das constantes $a$ e $b$ são

Resolução

A questão aborda o resfriamento de uma caneca de água fervente, modelado por uma função exponencial do tipo $T(t) = a + 80\,b^{t}$, onde $T(t)$ é a temperatura em função do tempo. O aluno deve identificar os valores das constantes $a$ e $b$. Para isso, é necessário compreender o comportamento de funções exponenciais decrescentes e o conceito de temperatura de equilíbrio (temperatura ambiente). O termo $a$ representa o valor limite da temperatura quando $t \to \infty$, ou seja, a temperatura ambiente, que normalmente é $20\,^{\circ}\text{C}$. O termo $b$ indica a taxa de decaimento exponencial. Se a cada 10 minutos a temperatura diminui pela metade do excesso sobre o ambiente, então $b = (0,5)^{\frac{1}{10}}$. Assim, a alternativa correta é a C.

Comentários por alternativa

A $a = 20$; $b = \log(0,5)$

Errada. O valor de $a$ está correto ($20$), mas $b = \log(0,5)$ não faz sentido físico, pois a base da exponencial deve ser positiva e menor que 1 para decaimento, e não um logaritmo negativo.
B $a = 100$; $b = 0,5$

Errada. O valor de $a$ está incorreto ($100$ não é a temperatura de equilíbrio, que deveria ser $20$). Além disso, $b = 0,5$ indicaria que a temperatura cai pela metade a cada 1 minuto, o que não condiz com o comportamento típico de resfriamento.
C $a = 20$; $b = (0,5)^{\frac{1}{10}}$

Correta. $a = 20$ representa a temperatura ambiente (limite para $t \to \infty$) e $b = (0,5)^{\frac{1}{10}}$ indica que a cada 10 minutos a diferença de temperatura para o ambiente reduz pela metade, o que é característico do resfriamento exponencial.
D $a = 20$; $b = \frac{(40)^{\frac{1}{10}}}{80}$

Errada. Apesar de $a = 20$ estar correto, a expressão para $b$ não corresponde à taxa de decaimento correta para o processo descrito, tornando a alternativa inconsistente com o modelo físico.
E $a = 20$; $b = 40$

Errada. $a = 20$ está certo, mas $b = 40$ é maior que 1, o que implicaria crescimento exponencial, e não decaimento, contrariando o fenômeno de resfriamento.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. O que representa o termo constante $a$ em uma função de resfriamento exponencial?: O termo $a$ representa a temperatura de equilíbrio, geralmente a temperatura ambiente, para a qual o sistema tende com o tempo.
2. Por que a base $b$ de uma função exponencial de resfriamento deve ser menor que 1?: Porque valores de $b$ menores que 1 garantem que a função decresça ao longo do tempo, modelando o resfriamento.
3. Como identificar a temperatura inicial em uma função do tipo $T(t) = a + 80b^{t}$?: Basta calcular $T(0)$, que resulta em $a + 80$, indicando a temperatura logo após o aquecimento.
4. O que significa $b = (0,5)^{\frac{1}{10}}$ no contexto de resfriamento?: Significa que a cada 10 minutos, a diferença de temperatura em relação ao ambiente é reduzida pela metade.
5. Qual é o comportamento da função $T(t)$ quando $t \to \infty$?: A temperatura $T(t)$ se aproxima de $a$, a temperatura ambiente, pois $b^{t} \to 0$.
6. Como a Lei do Resfriamento de Newton se relaciona com funções exponenciais?: Ela afirma que a taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e do ambiente, resultando em função exponencial.
7. Por que não se usa logaritmo como base da exponencial em modelos físicos de resfriamento?: Porque a base deve ser um número positivo menor que 1 para representar decaimento, enquanto logaritmos negativos não têm sentido físico nesse contexto.