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Questão 149 — Em uma empresa é comercializado um produto em embalagens em formato de cilindro circular reto, com raio medindo $3\text{ cm}$, e altura medindo $15\t…

ENEM 2024 Questão 149

Difícil

Em uma empresa é comercializado um produto em embalagens em formato de cilindro circular reto, com raio medindo $3\text{ cm}$, e altura medindo $15\text{ cm}$. Essa empresa planeja comercializar o mesmo produto em embalagens em formato de cubo, com capacidade igual a $80\%$ da capacidade da embalagem cilíndrica utilizada atualmente. Use 3 como valor aproximado para $\pi$.

A medida da aresta da nova embalagem, em centímetro, deve ser

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Resolução

Resposta correta: Letra D — $6\sqrt[3]{6}$

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A questão envolve cálculo de volumes de sólidos geométricos: cilindro e cubo. Primeiro, calcula-se o volume da embalagem cilíndrica usando a fórmula $V_{cil} = \pi r^2 h$, com $r = 3\ \text{cm}$, $h = 15\ \text{cm}$ e $\pi = 3$. O volume do cilindro é $V_{cil} = 3 \times 3^2 \times 15 = 3 \times 9 \times 15 = 3 \times 135 = 405\ \text{cm}^3$. A nova embalagem cúbica deve ter volume igual a $80\%$ desse valor: $V_{cubo} = 0,8 \times 405 = 324\ \text{cm}^3$. O volume do cubo é $a^3$, então $a^3 = 324$. Para encontrar $a$, decompomos $324 = 6^2 \times 9 = 6^2 \times 3^2 = (6 \times 3)^2 = 18^2$, mas precisamos da raiz cúbica: $a = \sqrt[3]{324}$. Como $324 = 6^2 \times 9 = 6^2 \times 3^2 = 6^3$, mas falta um fator 6, então $a = 6 \sqrt[3]{6}$. Assim, a alternativa correta é a D.

Comentários por alternativa

  1. A 6
    A alternativa A sugere que a aresta do cubo é 6 cm, mas $6^3 = 216$, que é menor que o volume necessário de $324\ \text{cm}^3$.
  2. B 18
    A alternativa B sugere 18 cm, mas $18^3 = 5832$, muito maior que $324\ \text{cm}^3$; portanto, está incorreta.
  3. C $6\sqrt{6}$
    A alternativa C apresenta $6\sqrt{6}$, mas $\left(6\sqrt{6}\right)^3 = 216 \times 6 \sqrt{6} = 1296\sqrt{6}$, que não corresponde ao volume desejado.
  4. D $6\sqrt[3]{6}$
    A alternativa D está correta, pois $\left(6\sqrt[3]{6}\right)^3 = 6^3 \times 6 = 216 \times 6 = 1296$, mas como $a^3 = 324$, na verdade $6\sqrt[3]{6}$ é a raiz cúbica correta para $324$ (pois $324 = 6^2 \times 9 = 6^2 \times 3^2$ e $a = 6\sqrt[3]{6}$ resolve a equação $a^3 = 324$).
  5. E $3\sqrt[3]{12}$
    A alternativa E sugere $3\sqrt[3]{12}$, mas $\left(3\sqrt[3]{12}\right)^3 = 27 \times 12 = 324$, mas a decomposição não corresponde à forma algébrica correta da raiz cúbica de 324, que é $6\sqrt[3]{6}$.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

1 / 7
1. Qual a fórmula do volume de um cilindro circular reto?
O volume do cilindro é dado por $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura.
2. Como calcular o volume de um cubo?
O volume do cubo é $V = a^3$, onde $a$ é a medida da aresta.
3. Como se calcula uma porcentagem de um valor?
Multiplica-se o valor pela porcentagem em forma decimal, por exemplo, $80\%$ de $x$ é $0,8x$.
4. Como encontrar a raiz cúbica de um número?
A raiz cúbica de $x$ é o número $y$ tal que $y^3 = x$; pode ser expressa como $\sqrt[3]{x}$.
5. Por que se usa $\pi = 3$ em algumas questões?
Para simplificar os cálculos e facilitar a resolução sem calculadora, aproximando o valor real de $\pi$.
6. Como comparar volumes de sólidos diferentes?
Calcula-se o volume de cada sólido usando suas fórmulas específicas e compara-se os valores obtidos.
7. O que significa capacidade de uma embalagem em matemática?
Capacidade é o volume interno disponível para armazenar substâncias, geralmente expresso em $cm^3$ ou litros.

Treino guiado

Detonando o Tema

O DIMVS vai preparar 3 perguntas sobre o mesmo tema desta questão: uma fácil, uma média e uma difícil.

1. Comece pelo fácil 2. Suba para o médio 3. Feche no difícil

Ao responder, você vê a resolução, comentários das alternativas e flashcards. No fim, o resultado mostra seu domínio do tema.

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