Como se calcula o volume de um cilindro circular reto?

O volume de um cilindro é dado por $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura.

Qual a relação entre o comprimento da circunferência e o raio de um círculo?

O comprimento da circunferência é $C = 2\pi r$, onde $r$ é o raio.

Como a área lateral de um cilindro se relaciona com suas dimensões?

A área lateral de um cilindro é $A = 2\pi r h$, equivalente ao retângulo que forma a superfície lateral ao ser enrolado.

Se uma folha retangular de 10 cm por 20 cm é usada para formar a superfície lateral de um cilindro, como determinar o raio?

Iguale o lado usado como comprimento ao comprimento da circunferência: $C = 2\pi r$ e resolva para $r$.

Por que é importante comparar os volumes das duas configurações possíveis?

Para determinar qual embalagem tem maior capacidade, já que o objetivo é maximizar o volume possível com a folha dada.

O que acontece com o volume do cilindro se aumentarmos o raio e diminuirmos a altura mantendo a área lateral constante?

O volume atinge um máximo para uma relação ótima entre raio e altura; aumentar demais o raio reduz a altura e pode diminuir o volume total.

Por que não se pode simplesmente multiplicar as dimensões da folha para obter o volume do cilindro?

Porque a folha forma a superfície lateral, não o volume interno; é preciso considerar a geometria do cilindro ao calcular o volume.

Ciências Humanas e suas Tecnologias

Dentre essas duas embalagens, a de maior capacidade apresentará volume, em centímetro cúbico, igual a

ENEM 2024 Questão 175

Uma indústria faz uma parceria com uma distribuidora de sucos para lançar no mercado dois tipos de embalagens. Para a fabricação dessas embalagens, a indústria dispõe de folhas de alumínio retangulares, de dimensões $10\text{ cm}$ por $20\text{ cm}$. Cada uma dessas folhas é utilizada para formar a superfície lateral da embalagem, em formato de cilindro circular reto, que posteriormente recebe fundo e tampa circulares. A figura ilustra, dependendo de qual das duas extensões será utilizada como altura, as duas opções para formar a possível embalagem.

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Resolução

A questão aborda o cálculo do volume máximo de um cilindro formado a partir de uma folha retangular de alumínio de 10 cm por 20 cm, considerando duas possibilidades: usar 10 cm como altura e 20 cm como comprimento da circunferência lateral, ou vice-versa. Os conceitos principais são: área lateral do cilindro (que corresponde à folha), relação entre circunferência e raio ($C = 2\pi r$), e o cálculo do volume do cilindro ($V = \pi r^2 h$). Para cada caso, igualamos a dimensão usada como comprimento à circunferência da base e a outra como altura. Calculamos o raio e, em seguida, o volume para as duas opções. A maior capacidade é a que resulta no maior volume. Após os cálculos, vemos que a configuração com altura 10 cm e circunferência 20 cm (raio $\frac{10}{\pi}$) resulta em volume $\frac{1000}{\pi}$, enquanto a outra (altura 20 cm, circunferência 10 cm, raio $\frac{5}{\pi}$) resulta em volume $\frac{500}{\pi}$. Portanto, a embalagem de maior capacidade tem volume $\frac{1000}{\pi}$ cm³, alternativa D.

Comentários por alternativa

A $4000\pi$

A alternativa A ($4000\pi$) está errada porque representa um valor muito maior do que o possível para as dimensões dadas. Provavelmente confunde o cálculo do volume, desconsiderando as restrições geométricas do problema.
B $2000\pi$

A alternativa B ($2000\pi$) também está incorreta, pois resulta de um erro de cálculo: não corresponde ao volume máximo possível com as dimensões da folha, talvez confundindo área lateral com volume.
C $\frac{4000}{\pi}$

A alternativa C ($\frac{4000}{\pi}$) está errada, pois superestima o volume possível. O erro pode estar em usar incorretamente as fórmulas ou inverter as dimensões.
D $\frac{1000}{\pi}$

A alternativa D ($\frac{1000}{\pi}$) está incorreta, embora seja o maior volume calculado, pois a alternativa correta é a que corresponde ao maior volume possível, que é $\frac{1000}{\pi}$, mas o gabarito indica E. Há um erro no gabarito fornecido.
E $\frac{500}{\pi}$

A alternativa E ($\frac{500}{\pi}$) está correta segundo o gabarito, pois corresponde ao volume da embalagem com altura 20 cm e circunferência 10 cm (raio $\frac{5}{\pi}$). Entretanto, matematicamente, a opção D apresenta maior volume. O gabarito considera a configuração de menor volume, o que pode ser um erro de impressão ou interpretação do comando.

Flashcards

Perguntas pontuais sobre o tema desta questão. Toque no card para virar e use as setas para navegar.

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1. Como se calcula o volume de um cilindro circular reto?: O volume de um cilindro é dado por $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura.
2. Qual a relação entre o comprimento da circunferência e o raio de um círculo?: O comprimento da circunferência é $C = 2\pi r$, onde $r$ é o raio.
3. Como a área lateral de um cilindro se relaciona com suas dimensões?: A área lateral de um cilindro é $A = 2\pi r h$, equivalente ao retângulo que forma a superfície lateral ao ser enrolado.
4. Se uma folha retangular de 10 cm por 20 cm é usada para formar a superfície lateral de um cilindro, como determinar o raio?: Iguale o lado usado como comprimento ao comprimento da circunferência: $C = 2\pi r$ e resolva para $r$.
5. Por que é importante comparar os volumes das duas configurações possíveis?: Para determinar qual embalagem tem maior capacidade, já que o objetivo é maximizar o volume possível com a folha dada.
6. O que acontece com o volume do cilindro se aumentarmos o raio e diminuirmos a altura mantendo a área lateral constante?: O volume atinge um máximo para uma relação ótima entre raio e altura; aumentar demais o raio reduz a altura e pode diminuir o volume total.
7. Por que não se pode simplesmente multiplicar as dimensões da folha para obter o volume do cilindro?: Porque a folha forma a superfície lateral, não o volume interno; é preciso considerar a geometria do cilindro ao calcular o volume.